六面体的体积公式是什么？

Question

如题所述

Answer 1

平行六面体

1、定义：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体。

2、性质：

①平行六面体的任何一个面都可以作为底面；

②平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；

③平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和；

④长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。

3、直平行六面体：侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体。也可以说底面为平行四边形的直四棱柱叫直平行六面体。

4、公式说明：

用向量来定义平行六面体。

平行六面体的体积是底面A与高h的乘积。这里的高是底面与对面的垂直距离。

另外一个方法是用向量a = (a1, a2, a3)，b = (b1, b2, b3)，以及c = (c1, c2, c3)来表示相交于一点的三条棱。于是，平行六面体的体积就等于三重积a · (b × c)：

这是因为，如果我们选择b和c来表示底面的边，则根据向量积用向量来定义平行六面体。的定义，底面的面积为：

A = |b| |c| sin θ = |b × c|，

其中θ是b与c之间的角，而高为：

h = |a| cos α，其中α是a与h之间的角。

从图中我们可以看到，α的大小限定为0° ≤ α < 90°。而向量b × c与a之间的角β则有可能大于90°（0° ≤ β ≤ 180°）。也就是说，由于b × c与h平行，β的值要么等于β = α，要么等于β = 180° − α。因此：cos α = ±cos β = |cos β|，且h = |a| |cos β|。

我们得出结论：V = Ah = |a| |b × c| |cos β|，

于是，根据数量积的定义，它等于a · (b × c)的绝对值，证毕。