八年级上册数学题（与三角形有关）

Question

已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC,∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕点B旋转，它的两边分别交AD,DC（或它们的延长线）于点E,F。
当∠MBN绕点B旋转到AE≠CF时，在以下两种情况下，AE+CF=EF是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE,CF,EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。

Answer 1

（1）解：如图1，AE+CF=EF，
理由：∵AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，AE=CF，
在△ABE和△CBF中，

AB＝BC
{∠A＝∠C＝90°
AE＝CF
∴△ABE≌△CBF（SAS）；
∴∠ABE=∠CBF，BE=BF；
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，
∴∠ABE=∠CBF=30°，
∴AE=1/2 BE
CF=1/2BF;
∵∠MBN=60°，BE=BF，
∴△BEF为等边三角形；
∴AE+CF=1/2BE+1/2BF=BE=EF；

（2）如图2，（1）中结论成立
证明：延长FC到H，使CH=AE，连接BH，
∵AB⊥AD，BC⊥CD，
∴∠A=∠BCH=90°，
∵在△BCH和△BAE中

BC＝AB
{∠BCH＝∠A
CH＝AE
∴△BCH≌△BAE（SAS），
∴BH=BE，∠CBH=∠ABE，
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，
∴∠ABE+∠CBF=120°-60°=60°，
∴∠HBC+∠CBF=60°，
∴∠HBF=60°=∠MBN，
在△HBF和△EBF中

BH＝BE
{∠HBF＝∠EBF
BF＝BF
∴△HBF≌△EBF（SAS），
∴HF=EF，
∵HF=HC+CF=AE+CF，
∴EF=AE+CF．

图3中的结论不成立，线段AE、CF，EF的数量关系是AE=EF+CF，
证明：在AE上截取AQ=CF，连接BQ，
∵AB⊥AD，BC⊥CD，
∴∠A=∠BCF=90°，
在△BCF和△BAQ中

BC＝AB
{∠BCF＝∠A
CF＝AQ
∴△BCF≌△BAQ（SAS），
∴BF=BQ，∠CBF=∠ABQ，
∵∠MBN=60°=∠CBF+∠CBE，
∴∠CBE+∠ABQ=60°，
∵∠ABC=120°，
∴∠QBE=120°-60°=60°=∠MBN，
在△FBE和△QBE中

BF＝BQ
{∠FBE＝∠QBE
BE＝BE
∴△FBE≌△QBE（SAS），
∴EF=QE，
∵AE=QE+AQ=EF+CF，
∴AE=EF+CF，
即（1）中的结论不成立，线段AE、CF，EF的数量关系是AE=EF+CF．
具体的图见
http://www.jyeoo.com/math/ques/detail/7ff90ace-d4e1-47a3-baf3-aa8e4408e991

Answer 2

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Answer 3