求解释“拉格朗日乘数原理”

Question

就是 解释一下什么叫做“拉格朗日乘数原理”及其用途

Answer 1

拉格朗日乘数原理（即拉格朗日乘数法）由用来解决有约束极值的一种方法。
有约束极值：举例说明，函数 z=x^2+y^2 的极小值在x=y=0处取得，且其值为零。如果加上约束条件 x+y-1=0,那么在要求z的极小值的问题就叫做有约束极值问题。
上述问题可以通过消元来解决，例如消去x，则变成
z=(y-1)^2+y^2
则容易求解。
但如果约束条件是(x+1)^2+(y-1)^2-5=0,此时消元将会很繁，则须用拉格朗日乘数法，过程如下：
令
f=x^2+y^2+k*((y-1)^2+y^2)
令
f对x的偏导=0
f对y的偏导=0
f对k的偏导=0
解上述三个方程，即可得到可让z取到极小值的x,y值。

http://ftp.haie.edu.cn/RESOURCE/CZ/CZSX/SXBL/SXTS1045/3251_SR.HTM
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Answer 2

拉格朗日乘数原理（即拉格朗日乘数法）由用来解决有约束极值的一种方法。
有约束极值：举例说明，函数 z=x^2+y^2 的极小值在x=y=0处取得，且其值为零。如果加上约束条件 x+y-1=0,那么在要求z的极小值的问题就叫做有约束极值问题。
上述问题可以通过消元来解决，例如消去x，则变成
z=(y-1)^2+y^2
则容易求解。
但如果约束条件是(x+1)^2+(y-1)^2-5=0,此时消元将会很繁，则须用拉格朗日乘数法，过程如下：
令
f=x^2+y^2+k*((y-1)^2+y^2)
令
f对x的偏导=0
f对y的偏导=0
f对k的偏导=0
解上述三个方程，即可得到可让z取到极小值的x,y值。

拉格朗日乘数原理在工程中有广泛的应用，以上只简单地举一例，更复杂的情况（多元函数，多限制条件）可参阅高等数学教材。

Answer 3

http://ftp.haie.edu.cn/RESOURCE/CZ/CZSX/SXBL/SXTS1045/3251_SR.HTM