解:令y=arctanx,则x=tany。
对x=tany这个方程“=”的两边同时对x求导,则
(x)'=(tany)'
1=sec²y*(y)',则
(y)'=1/sec²y
又tany=x,则sec²y=1+tan²y=1+x²
得,(y)'=1/(1+x²)
即arctanx的导数为1/(1+x²)。
反正切函数arctanx的求导过程
设x=tany
tany'=sex^y
arctanx'=1/(tany)'=1/sec^y
sec^y=1+tan^y=1+x^2
所以(arctanx)'=1/(1+x^2)
arctanx的导数:y=arctanx,x=tany,dx/dy=sec²y=tan²y+1,dy/dx=1/(dx/dy)=1/(tan²y+1)=1/(1+x²)。
如果函数x=f(y)x=f(y)在区间IyIy内单调、可导且f′(y)≠0f′(y)≠0,那么它的反函数y=f−1(x)y=f−1(x)在区间Ix={x|x=f(y),y∈Iy}Ix={x|x=f(y),y∈Iy}内也可导,且
[f−1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy
[f−1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy
这个结论可以简单表达为:反函数的导数等于直接函数导数的倒数。
扩展资料:
三角函数求导公式
(arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2
(arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2
(arctanx)'=1/(1+x^2)
(arccotx)'=-1/(1+x^2)
(arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2)
(arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2)
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解:令y=arctanx,则x=tany。
对x=tany这个方程“=”的两边同时对x求导,则
(x)'=(tany)'
1=sec²y*(y)',则
(y)'=1/sec²y
又tany=x,则sec²y=1+tan²y=1+x²
得,(y)'=1/(1+x²)
即arctanx的导数为1/(1+x²)。
1、导数的四则运算(u与v都是关于x的函数)
(1)(u±v)'=u'±v'
(2)(u*v)'=u'*v+u*v'
(3)(u/v)'=(u'*v-u*v')/v²
2、导数的基本公式
C'=0(C为常数)、(x^n)'=nx^(n-1)、(sinx)'=cosx、(cosx)'=-sinx、(tanx)'=sec²x、(secx)'=tanxsecx
3、函数可导的条件:
如果一个函数的定义域为全体实数,即函数在其上都有定义。函数在定义域中一点可导需要一定的条件:函数在该点的左右导数存在且相等,不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等,并且在该点连续,才能证明该点可导。
可导的函数一定连续;连续的函数不一定可导,不连续的函数一定不可导。
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对x=tany这个方程“=”的两边同时对x求导,则
(x)'=(tany)'
1=sec²y*(y)',则
(y)'=1/sec²y
又tany=x,则sec²y=1+tan²y=1+x²
得,(y)'=1/(1+x²)
即arctanx的导数为1/(1+x²)。
扩展资料:
对于可导的函数f(x),x↦f'(x)也是一个函数,称作f(x)的导函数(简称导数)。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上,求导就是一个求极限的过程,导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。反之,已知导函数也可以反过来求原来的函数,即不定积分。
参考资料来源:百度百科-导数
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函数y=tanx,(x不等于kπ+π/2,k∈Z)的反函数,记作x=arctany,叫做反正切函数。其值域为(-π/2,π/2)。反正切函数是反三角函数的一种。
扩展资料:
反正切函数arctanx的求导过程
设x=tany
tany'=sex^y
arctanx'=1/(tany)'=1/sec^y
sec^y=1+tan^y=1+x^2
所以(arctanx)'=1/(1+x^2)
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