假设我们要做角 A 的三等分角:
首先,角 A 是已知的,所以我们能作出角 A,进而也就能作出 cos(A) 的值;
同理,如果我们能作出角 A 的三等分角 A/3,我们就可以作出 cos(A/3) 的值;
根据 cos 的三倍角公式,有:
cos(A) = 4*cos^3(A/3) - 3*cos(A/3)
设 cos(A/3) 为 x,则可以得到 x 的一元三次方程:
cos(A) = 4x^3 - 3x
对于大部分 cos(A) 的值,这个方程的解都会是 [三次根式] 的形式;
但是,尺规作图只能做 [加,减,乘,除,开方] 这五种运算,也就是说:
尺规作图只能作出 [2^n 次根式],所以并不能作出 [三次根式],进而也就不能作出 x=cos(A/3)
因此 A/3 也就无法作出,至此也就证明了 A 的三等分角不可作;
( 这只是证明的大体思路,严谨的证明需要用到 [域] 的知识,整个篇幅至少3到4页纸,所以这里省略了 )