求圆台表面积公式推导过程。

Question

如题所述

Answer 1

由上图，可以看出有一组相似三角形，于是有a/(a+l)=r'/r，解出a=lr'/(r-r')圆台侧面的面积是(l+a)(2πr)/2-a(2πr')/2化简得到πl(r+r')至于圆台的上下两个圆面，面积很好算，将三者相加即可得到圆台的面积所以上面的公式得到证明。 追问： 哦哦，谢谢了啊！ 追问： 但是圆台侧面面积是怎么算的，还是有点没太明白。这种公式有点看不懂。 回答： 上面的图形中有一个大圆椎，大圆锥又是由一个小圆椎和一个圆台组成，所以圆台的侧面积等于大圆锥的侧面积减去小圆锥的侧面积 追问： 可是圆锥侧面积为什么是底面周长乘母线长除以二啊？不应该是吗？ 回答： 圆锥的侧面是一个扇形，扇形的面积等于半径乘以弧长再除以2。 追问： 哦，是吗。那这对我来说有点高深了，我还没学到这个公式呢。 回答： 要不要帮你解释一下扇形米面积的推导过程？ 追问： 要啊，太谢谢了。 回答： 如上图所示，可以在圆内取一个弧长为l的扇形，圆的半径为r。根据常识，我们可以将圆且分为无数个一模一样的小扇形，每个小扇形除了所处的位置不同，其余的一模一样。现在假设将圆划分为n个小扇形（n足够大），圆的面积为S，所以每个小扇形的面积是S/n。现在我们所要得到的就是弧长为l的扇形内部包含了多少个小扇形，即可知道弧长为l的扇形对应的面积。由于每个小扇形都相同，所以弧长为l的扇形包含的小扇形的个数与l的长度有关。根据比例分配，圆的周长为2πr，l/2πr就是弧长l所占的比例，所以扇形内部的小扇形个数为nl/2πr。由之前的切割，每个小扇形的面积是S/n，所以弧长为l的扇形的面积是Sl/2πr。又因为S=πrr，所以弧长为l的扇形的面积是rl/2，即所说的扇形的面积公式是S=πrl或cl/2（此处的r指的是扇形底面圆的半径，c是底面圆的周长，l是母线的长度）。 当然，还有其它办法证明扇形的面积公式，我还至少知道三种，这里就不一一列举证明了，以上的证明方法应该可以被你接受。 追问： 哦，谢谢啊。

Answer 2

圆台的体积和表面积
用平行于底面的平面切割圆锥时，上部分仍是圆锥，下部分成为圆台。
圆台的上下两个平面是平行的，侧面是圆锥的一部分，它显然是曲面。
切割高度为h的圆锥，做成圆台，将下底面的半径记这r1，上底面的半径记为r2；将高度h分为两个，圆台的高度记为h1，上圆锥部分的高度记为h2。
首先，由于两个相似形的面积比是相应项之比的平方，体积比是相应项之比的立方，参见图3．10有
另外，由h2∶h＝r2∶r1有r1h2＝r2h，
r1h2＝r2(h1+h2)，r1h2－r2h2
＝r2h1
将②代入①，
由此可知，如果知道上底面、下底面的半径和圆台的高度，即可求出圆台的体积，在此式中也有π。
下面求圆台的表面积(全表面积)。这样的问题用展开图描绘比较容易理解。
因此，参看图3－11。
因为上底面和下底面都是圆，所以其面积为πr22+πr12＝π(r22+r12)，侧面面积为
(侧面的面积)＝πr1l－πr2l2
＝π〔r1(l1+l2)－r2l2〕
＝π〔r1l1+l2(r1－r2)〕①
另外，因为r2∶r1＝l2∶l
及r2∶r1＝l2∶(l1+l2)
有r2(l1+l2)＝r1l2
r2l1+r2l2＝r1l2，r2l1＝l2(r1－r2
)
将②式代入①式，有
＝π(r1l1+r2l1)
＝πl1(r1+r2)
由此可知，为了求圆台的表面积，可求出上底面和下底面的半径及斜高(不是高度，而是母线的一部分)，即可像下面那样求表面积。
(表面积)＝(上、下两个圆的面积)+(侧面积)
＝π(r22+r12)+πl1(r1+r2)
＝π(r1l1+r22+r12+r2l1)
＝π｛r1(l1+r1)+r2(l1+r2)｝
在此，π也起着重要作用。
重新整理写出圆台的体积V和表面积S的计算公式：
S＝π〔r1(l1+r1)+r2(l1+r2)〕