.(08全国Ⅱ25)我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行.为了获得月球表面全貌的信息,让卫星轨道平面缓慢变化.卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球.设地球和月球的质量分别为M和m,地球和月球的半径分别为R和R1,月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r和r1,月球绕地球转动的周期为T.假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面,求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间(用M、m、R、R1、r、r1和T表示,忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响).
答案
解析 如右图所示,O和O′分别表示地球和月球的中心.在卫星轨道
平面上,A是地月连心线OO′与地月球面的公切线ACD的交点,D、C
和B分别是该公切线与地球表面、月球表面和卫星圆轨道的交点.根据对称性,过A点在另一侧作地月球面的
公切线,交卫星轨道于E点.卫星在 说上运动时发出的信号被遮挡.设探月卫星的质量为m0,万有引力常量为G,根据万有引力定律有
①
②
式中,T1是探月卫星绕月球转动的周期.
由①②式得 ③
设卫星的微波信号被遮挡的时间为t,则由于卫星绕月球做匀速圆周运动,应有
④�
式中,α=∠CO′A,β=∠CO′B.
由几何关系得 rcosα=R-R1 ⑤
r1 cos β=R1 ⑥
由③④⑤⑥式得
11.(08宁夏理综23)天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星.双星系统在银河系中很普遍.利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量.已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动,周期均为T,两颗恒星之间的距离为r,试推算这个双星系统的总质量.（万有引力常量为G）
答案
解析 设两颗恒星的质量分别为m1、m2,做圆周运动的半径分别为r1、r2,角速度分别为ω1、ω2.根据题意有
ω1=ω2 ①
r1+r2=r ②
根据万有引力定律和牛顿运动定律,有
③
④
联立以上各式解得
⑤
根据角速度与周期的关系知�
⑥
联立②⑤⑥式解得�m1 + m2 =
2004-2007年高考题
题组一
一、选择题
1.(07江苏10)假设太阳系中天体的密度不变,天体直径和天体之间距离都缩小到原来的一半,地球绕太阳公转近似为匀速圆周运动,则下列物理量变化正确的是 ( )
A.地球的向心力变为缩小前的一半 B.地球的向心力变为缩小前的 �
C.地球绕太阳公转周期与缩小前的相同 D.地球绕太阳公转周期变为缩小前的一半�
答案 BC
解析 设地球的直径、太阳的直径、太阳与地球间的距离分别由d1、d2、r变为 ,地球的向心力由万有引力提供,则
①
②
联立①②两式得:F′=
由万有引力提供向心力,则
F=m ③
F′=m′ ④
代入数据联立③④得:T′=T
2.(07广东理科基础11)现有两颗绕地球做匀速圆周运动的人造地球卫星A和B,它们的轨道半径分别为rA和rB.如果rA>rB,则 （ ）
A.卫星A的运动周期比卫星B的运动周期大� B.卫星A的线速度比卫星B的线速度大�
C.卫星A的角速度比卫星B的角速度大� D.卫星A的加速度比卫星B的加速度大 �
答案 A
解析 由万有引力提供向心力G 知,
A对;v= ,B错; ω= ,则ωA<ωB,C错;
a= ,则aA<aB,D错.
3.(07全国卷Ⅰ14)据报道,最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星,其质量约为地球质量的6.4倍,一个在地球表面重量为600 N的人在这个行星表面的重量将变为960 N.由此可推知,该行星的半径与地球半径之比约为 ( )
�A.0.5 B.2 C.3.2 D.4
答案 �B
解析 若地球质量为M0,则“宜居”行星质量为M=6.4M0,由 得:
�
所以
4.(07重庆理综19)土卫十和土卫十一是土星的两颗卫星,都沿近似为圆周的轨道绕土星运动,其参数如下表:
卫星半径(m) 卫星质量(kg) 轨道半径(m)
土卫十 8.90×104 2.01×1018� 1.51×108
土卫十一 5.70×104 5.60×1017� 1.51×108
两颗卫星相比较,土卫十 ( )
A.受土星的万有引力较大 B.绕土星做圆周运动的周期较大
C.绕土星做圆周运动的向心加速度较大 D.动能较大�
答案 AD
解析 由 得：万有引力 ,向心加速度a= ,周期
T= ,动能Ek= ,其中M为土星的质量,代入数值比较可知,A、D选项正确.
5.(07宁夏理综14)天文学家发现了某恒星有一颗行星在圆形轨道上绕其运动,并测出了行星的轨道半径和运行周期.由此可推算出 ( )
A.行星的质量 B.行星的半径 C.恒星的质量 D.恒星的半径
答案 C
解析 由万有引力提供向心力知, ,故C选项正确.
6.(07山东理综22)2007年4月24日,欧洲科学家宣布在太阳系之外发现了一颗可能适合人类居住的类地行星Gliese 581c.这颗围绕红矮星Gliese 581运行的星球有类似地球的温度,表面可能有液态水存在,距离地球约为20光年,直径约为地球的1.5倍,质量约为地球的5倍,绕红矮星Gliese 581运行的周期约为13天.假设有一艘宇宙飞船飞临该星球表面附近轨道,下列说法正确的是 ( )
A.飞船在Gliese 581c表面附近运行的周期约为13天�
B.飞船在Gliese 581c表面附近运行时的速度大于7.9 km/s �
C.人在Gliese 581c上所受重力比在地球上所受重力大�
D.Gliese 581c的平均密度比地球平均密度小�
答案 �BC
解析 �行星Gliese 581c围绕红矮星运行的周期为13天,由 得： ,
其中M为红矮星的质量,r为行星距红矮星的距离,而宇宙飞船绕行星Gliese 581c运行的周期
T′= ,M′为行星Gliese 581 c的质量,r′为飞船与Gliese 581 c的距离,故A不正确.由速度
v = ,地球的 小于Gliese 581 c的 ,所以B正确.由重力F= ,Gliese 581 c的 ,大于地球的 ,所以C正确;由M= 知,Gliese 581c的平均密度比地球的平均密度大.
7.(07四川理综17)我国探月的“嫦娥工程”已经启动,在不久的将来,我国宇航员将登上月球.假如宇航员在月球上测得摆长为l的单摆做小振幅振动的周期为T,将月球视为密度均匀、半径为r的球体,则月球的密度为 ( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由T=2π 得： 得:GM=gr2,而M= ,联立得： .
8.(07天津理综17)我国绕月探测工程的预先研究和工程实施已取得重要进展.设地球、月球的质量分别为m1、m2,半径分别为R1、R2,人造地球卫星的第一宇宙速度为v,对应的环绕周期为T,则环绕月球表面附近圆轨道飞行的探测器的速度和周期分别为 ( )
A. B.
�C. D.
答案 A
解析 人造地球卫星绕地球运转时,万有引力提供向心力,即 同理,探测器绕月球运转时,v′= ,联立得：v′= ,由T= 得：T′= T.
9.(07上海综合能力测试9)太阳系八大行星公转轨道可近似看作圆轨道,“行星公转周期的平方”与“行星与太阳的平均距离的三次方”成正比.地球与太阳之间平均距离约为1.5亿千米,结合下表可知,火星与太阳之间的平均距离约为
� 水星 金星 地球 火星 木星 土星
公转周期(年) 0.241 0.615 1.0 1.88 11.86 29.5
A.1.2亿千米 B.2.3亿千米 C.4.6亿千米 D.6.9亿千米
答案 B
解析 由题意可知,行星绕太阳运转时,满足 =常数,设地球的公转周期和公转半径分别为T1、r1,火星绕太阳的公转周期和轨道半径分别为T2、r2,则 ,代入数值得,r2=2.3亿千米.