当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是:x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0)。当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是:y^2/a^2+x^2/b^2=1,(a>b>0)。
不论焦点在X轴还是Y轴,椭圆始终关于X/Y/原点对称。
顶点:
焦点在X轴时:长轴顶点:(-a,0),(a,0)。
短轴顶点:(0,b),(0,-b)。
焦点在Y轴时:长轴顶点:(0,-a),(0,a)。
短轴顶点:(b,0),(-b,0)。
注意长短轴分别代表哪一条轴,在此容易引起混乱,还需数形结合逐步理解透彻。
焦点:
当焦点在X轴上时焦点坐标F1(-c,0)F2(c,0)。
当焦点在Y轴上时焦点坐标F1(0,-c)F2(0,c)。
性质:
椭圆、双曲线、抛物线各自的性质可参考相应词条,现给出一般圆锥曲线的性质。
定理一:平面内五个点,其中任意三个不共线,则经过这五个点的圆锥曲线有且只有一条。
定理一:平面内五条直线,其中任意三条不共点,则与这五条直线都相切的圆锥曲线有且只有一条。
定理二:(帕斯卡定理):内接于非退化的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线、圆)的六边形的三组对边交点共线。
定理二:(布里昂雄定理):外切于非退化的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线、圆)的六边形的三条对角线共点。
定理三(定理二的逆):如果一六边形的三组对边交点共线,那么这个六边形内接于一圆锥曲线上。
定理三:(定理二‘的逆):如果一六边形的三条对角线共点,那么这个六边形外切于一圆锥曲线上。
以上内容参考:百度百科-圆锥曲线
两焦点坐标(-C,0)(C,0)
设椭圆上任意一点为(X,Y)
由几何定义,椭圆上的点到两定点的距离和为定值:【(X+C)^2+Y^2】的开方+【(X-C)^2+Y^2】的开方=2a
【(X+C)^2+Y^2】的开方=2a-【(X-C)^2+Y^2】的开方
两边平方
(X+C)^2+Y^2=4a^2+(X-C)^2+Y^2-4a*{【(X-C)^2+Y^2】的开方}
整理得
a*{【(X-C)^2+Y^2】的开方}=a^2-XC
两边再平方得
a^2*[(X-C)^2+Y^2]=(a^2-XC)^2
整理得
(a^2-c^2)X^2+a^2Y^2=a^4-a^2c^2
即为
X^2/a^2+Y^2/(a^2-c^2)=1 书上a^2-c^2=b^2
扩展资料:
当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是:x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0);
当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是:y^2/a^2+x^2/b^2=1,(a>b>0);
其中a^2-c^2=b^2
推导:PF1+PF2>F1F2(P为椭圆上的点 F为焦点)
参考资料来源:百度百科-椭圆的标准方程
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