微分是什么

Question

如题所述

Answer 1

微分在数学中的定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。微分是函数改变量的线性主要部分。微积分的基本概念之一。

早在希腊时期，人类已经开始讨论「无穷」、「极限」以及「无穷分割」等概念。这些都是微积分的中心思想；虽然这些讨论从现代的观点看有很多漏洞，有时现代人甚至觉得这些讨论的论证和结论都很荒谬，但无可否认，这些讨论是人类发展微积分的第一步[3] 。
　　例如公元前五世纪，希腊的德谟克利特（Democritus）提出原子论：他认为宇宙万物是由极细的原子构成。在中国，《庄子．天下篇》中所言的「一尺之捶，日取其半，万世不竭」，亦指零是无穷小量。这些都是最早期人类对无穷、极限等概念的原始的描述。
　　其他关于无穷、极限的论述，还包括芝诺（Zeno）几个著名的悖论：其中一个悖论说一个人永远都追不上一只乌龟，因为当那人追到乌龟的出发点时，乌龟已经向前爬行了一小段路，当他再追完这一小段，乌龟又已经再向前爬行了一小段路。芝诺说这样一追一赶的永远重覆下去，任何人都总追不上一只最慢的乌龟－－当然，从现代的观点看，芝诺说的实在荒谬不过；他混淆了「无限」和「无限可分」的概念。人追乌龟经过的那段路纵然无限可分，其长度却是有限的；所以人仍然可以以有限的时间，走完这一段路。然而这些荒谬的论述，开启了人类对无穷、极限等概念的探讨，对后世发展微积分有深远的历史意味。

另外值得一提的是，希腊时代的阿基米德（Archimedes）已经懂得用无穷分割的方法正确地计算一些面积，这跟现代积分的观念已经很相似。由此可见，在历史上，积分观念的形成比微分还要早－－这跟课程上往往先讨论微分再讨论积分刚刚相反。

Answer 2

首先来看微积分这个词，我们把它拆开就是微分+积分。微分，顾名思义，就是把一个整体拆分成微小的单元。积分, 顾名思义，就是把微小的单元累积起来变成一个整体。
微分和积分是两个相逆的过程。 那么具体我们怎么去运用微分和积分呢？

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举例子

这是我家的一个乐高小人，他长的很帅气，但是我总觉得他的身材比例不协调(可能是头太大？)。于是我想测一测，到底他的头和身体的比例是多少，但是如何测量呢？

从上图中看出，它的身体各个部分并不是常见的规则图形，所以无法直接测出头或身体的大小。这候我们就需要用到微分，通俗的讲，就是“拆”！

拆开后，我们可以看出，若忽略连接处的凸起，拆出的每个小块近似可以看做长方体，而长方体的体积相信所有人都不陌生。
这时我们就可以算出每个长方体的体积，最终把他们加在一起就是我们需要的各个部分的体积了，这个步骤叫做积分。 当然，这个小人属于棱角比较分明的，所以我们可以把他拆分成长方体。
但现实生活中的大多数物体的表面都是“圆滑”曲线，若还是把它们微分成方形，是否就失真了呢？

2
引入概念

为解释以上问题，引入两个概念。

概念一：像素

像素是指由图像的小方格组成的，这些小方块都有一个明确的位置和被分配的色彩数值，小方格颜色和位置就决定该图像所呈现出来的样子，比如以下这个蜘蛛侠，每个小方格就代表了一个像素。

15*25 ( 马赛克风蜘蛛侠 )

概念二：分辨率

通常情况下，图像的分辨率越高，所包含的像素就越多，图像就越清晰。我们现在每天用的电脑屏幕有不同的分辨率。
眼下我用来编辑文章的这台电脑是4K分辨率，意味着一个屏幕上有接近4096×2160个像素点。

大多数电脑的分辨率是1440 x 900或者2880 x 1800 等等。现在我们可以直观看一下不同分辨率的效果图，可对比以上马赛克风蜘蛛侠。

128*128( 轮廓已经圆滑，但是细节很模糊 )2048*2048( 细节很完善，光影变化流畅 )

从这对比图中我们可以发现，当我们的像素足够多，或者说，把一个图片微分到足够小的时候，有多少像素，相当于微分成了多少个单元。
这些小的方块拼接成的整体和实体会非常接近。其实在128*128的图片中，已经看不出是由小方块构成的了。

而随着科技进步，分辨率也会逐步提高，如果未来我们能够把图片无限细分下去，像素点个数接近于无穷。

最终通过小方块累加得到的总体就会和实体一模一样，从而解决了“失真”的问题。这就是微积分里近似和极限的思想。

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从现实例子回归到微积分题目

1.题目描述

怎么选择方法去计算一个物体的体积？我们来看下面的这个例子。这是16年AP微积分BC里的一道简答题，题目不难，需要计算这个漏斗的体积。

很多同学拿到题目就开始从脑海里检索背过的公式，但是最终不知道用哪个公式。那么正确的思路应该是什么？

2.正确的解题思路

根据前两个例子，我们第一步要想清楚如何去微分，微分的目的是把不熟悉的图形分割成熟悉可以处理的图形。
如果再分割成正方体其实也可以，但是过于复杂，我们学过的常见图形可不止立方体一种，比如在这里我们可以尝试把这个漏斗切分成小薄片。
如下图所示，微分之后我们会发现，每个小薄片都可以看做是一个小的圆柱体，圆柱也是我们非常熟悉的图形。

为了能够看清，薄片画的比较厚

圆柱的体积是πr²h。在这里h非常小,我们记做dh，每个薄片的体积就可以表示成πr²dh。

最后，我们只需要将h从0到10的这些小圆柱加在一起，根据我们的经验，只要分割的足够细，这个总和就会与漏斗的体积完全相同。

Answer 3