“内侧”换成“外侧”的话,最后结果会差个负号。
用高斯公式化为三重积分,若是外侧取正号,内侧取负号。
什么是曲面积分?
先看一个例子:设有一构件占空间曲面Σ,其质量分布密度函数为(密度分布)ρ(x,y,z),求构件的质量。
同样,对于密度不均匀的物件,也不可以直接利用ρS(这里的S代表的是面积,下同)处理问题的思想方法类似于分布在平面区域的质量问题,就需要利用曲面积分;
dm=ρ(x,y,z)*ds;m=∫ρ(x,y,z)*ds,就是对面积的曲面积分。
定义:
设Σ为光滑曲面,函数f(x,y,z)在Σ上有界,把Σ任意地分成n个小曲面ΔS,在每个小曲面ΔSi上任取一点(Xi,Yi,Zi) 作乘积f(Xi,Yi,Zi)dS,并求和Σf(Xi,Yi,Zi)dS ,记λ=max(ΔS的直径) ,
若f(Xi,Yi,Zi)dS当λ→0时的极限存在,且极限值与Σ的分法及(Xi,Yi,Zi)在Σ上的取法无关,则称极限值为f(x,y,z)在Σ上对面积的曲面积分,也叫做第一类曲面积分。即为∫∫f(x,y,z)dS;其中f(x,y,z)叫做被积函数,Σ叫做积分曲面,dS叫做面积函数。