圆台体积公式推导过程是什么？

Question

如题所述

Answer 1

圆台体积公式V=1/3*π*h（R^2+Rr+r^2)。

其实圆台相当于大圆锥切去顶端的小圆锥。

圆锥体的体积：V=1/3*π*h*r^2。

假设，圆台底面半径为R,顶面半径为r,台高h，则假设的大圆锥体积V1=1/3*π*h1*R^2。小圆锥的体积V2=1/3*π*h2*r^2,明显r：R=h2：h1。

则圆台的体积V=1/3*π*（h1*R*R-h2*r*r）。

将r=R*h2/h1代入上式V=1/3*π*((h1^3-h2^3)/h1^2)*R^2。

使用立方差公式V：

=1/3*π*(h1-h2)*((h1^2+h1h2+h2^2)/h1^2)*R^2。

=1/3*π*h*(1+h2/h1+h2^2/h1^2)*R^2。

再将R*h2/h1=r代入上式V=1/3*π*h（R^2+Rr+r^2)。

圆台性质

1、平行于底面的截面是圆。

2、过轴的截面是等腰梯形。

3、同别的棱台一样，若它是一个圆锥体在½处截断，则上底半径也应为下底的1/2，截下面积是整个圆锥面积的1/7.过圆台侧面一点有且只有一条母线。

4、如果沿一个直角梯形垂直于底边的腰旋转一周，将得到一个圆台。