如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2 +bx+4与x轴的一个交点为A（-2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2 +bx+4与x轴的一个交点为A（-2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x=3，对称轴与x轴交于点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）经过B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标；（3）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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推荐答案推荐于2017-09-10

（1）抛物线为y=-

x² +

x+4．（2）M的坐标为（6，4）或（3-

，-4）或（3+

，-4）．（3）点P的坐标为（4+

，

）或（4-

，

）或（-1+

，-8+2

）或（-1-

，-8-2

）．

试题分析：（1）解析式已存在，y=ax² +bx+4，我们只需要根据特点描述求出a，b即可．由对称轴为-

，又过点A（-2，0），所以函数表达式易得．
（2）四边形为平行四边形，则必定对边平行且相等．因为已知MN∥BC，所以MN=BC，即M、N的位置如B、C位置关系，则可分2种情形，①N点在M点右下方，即M向下平行4个单位，向右2个单位与N重合；②M点在N右下方，即N向下平行4个单位，向右2个单位与M重合．因为M在抛物线，可设坐标为（x，-

x² +

x+4），易得N坐标．由N在x轴上，所以其纵坐标为0，则可得关于x的方程，进而求出x，求出M的坐标．
（3）使△PBD≌△PBC，易考虑∠CBD的平分线与抛物线的交点．确定平分线可因为BC=BD，可作等腰△BCD，利用三线合一，求其中线所在方程，进而与抛物线联立得方程组，解出P即可．
试题解析：（1）∵抛物线y=ax² +bx+4交x轴于A（-2，0），
∴0=4a-2b+4，
∵对称轴是x=3，
∴-

=3，即6a+b=0，
两关于a、b的方程联立解得 a=-

，b=

，
∴抛物线为y=-

x² +

x+4．
（2）∵四边形为平行四边形，且BC∥MN，
∴BC=MN．
①N点在M点右下方，即M向下平移4个单位，向右平移2个单位与N重合．
设M（x，-

x² +

x+4），则N（x+2，-

x² +

x），
∵N在x轴上，
∴-

x² +

x=0，
解得 x=0（M与C重合，舍去），或x=6，
∴x_M =6，
∴M（6，4）．
②M点在N右下方，即N向下平行4个单位，向右2个单位与M重合．
设M（x，-

x² +