高中数学 圆锥曲线的所有计算公式

Question

有多少来多少

Answer 1

焦点弦长公式:
r=ep/(1-ecosθ），e是离心率，p是焦点到准线的距离,θ是与极轴的夹角，是极坐标中的表达式，根据e与1的大小关系分为椭圆，抛物线，双曲线。可以用第二定义证.

双曲线焦半径公式:
设双曲线为：(x/a)^2 -(y/b)^2 =1
焦点为f(c,0) ,准线为：x= ±a^2/c
设a(x ,y)是双曲线右支上的任一点
则a到准线的距离为：|x±a^2/c|=x±a^2/c
由双曲线的第二定义得： fa/|c±a^2/c| = e
所以 fa = e*(x ±a^2/c)= (c/a) *(x ±a^2/c) = ex ± a
椭圆焦半径：
f1为左焦点， f2为右焦点。（这个可以从增减性看出来，所以符号不用背啦）
|pf1|=a+ex0. |pf2|＝a-ex0．
即当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的左、右焦半径分别是
|pf1|=a+ey0，|pf2|=a－ey0

Answer 2

椭圆
文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。平面内一个动点到两个定点（焦点）的距离和等于定长2a的点的集合（设动点为p，两个定点为f1和f2，则pf1+pf2=2a）。定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。
标准方程：
1.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：（x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1
其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.
2.中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：（x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1
其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2。
参数方程：x=acosθ
y=bsinθ
（θ为参数
,0≤θ≤2π)
双曲线
文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率。
标准方程：
1.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：
（x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1
其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.
2.中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：
（y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.
其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.
参数方程：x=asecθ
y=btanθ
（θ为参数
)
直角坐标（中心为原点）：x^2/a^2
-
y^2/b^2
=
1
（开口方向为x轴）
y^2/a^2
-
x^2/b^2
=
1
（开口方向为y轴）
抛物线
文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是等于1。定点是抛物线的焦点，定直线是抛物线的准线。
参数方程
x=2pt^2
y=2pt
(t为参数）
t=1/tanθ（tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t可等于0
直角坐标
y=ax^2+bx+c
（开口方向为y轴，a≠0）
x=ay^2+by+c
（开口方向为x轴，a≠0
)
圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为
ρ=ep/(1-ecosθ）
其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。