偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性
（2）若f（x-a）为奇函数，则f（x）的图像关于点（a，0）对称
若f（x-a）为偶函数，则f（x）的图像关于直线x=a对称
（3）在f（x），g（x）的公共定义域上：奇函数±奇函数=奇函数
偶函数±偶函数=偶函数
奇函数×奇函数=偶函数
偶函数×偶函数=偶函数
奇函数×偶函数=奇函数
扩展资料
函数的早期概念：
十七世纪伽俐略在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。
1637年前后笛卡尔在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。
参考资料来源：百度百科-函数奇偶性
判定奇偶性四法：
（1）定义法
用定义来判断函数奇偶性，是主要方法 . 首先求出函数的定义域，观察验证是否关于原点对称. 其次化简函数式，然后计算f(-x)，最后根据f(-x)与f(x)之间的关系，确定f(x)的奇偶性.
（2）用必要条件.
具有奇偶性函数的定义域必关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要条件.
例如，函数y=的定义域(-∞，1)∪(1，+∞)，定义域关于原点不对称，所以这个函数不具有奇偶性.
（3）用对称性.
若f(x)的图象关于原点对称，则 f(x)是奇函数.
若f(x)的图象关于y轴对称，则 f(x)是偶函数.
（4）用函数运算.
如果f(x)、g(x)是定义在D上的奇函数，那么在D上，f(x)+g(x)是奇函数，f(x)•g(x)是偶函数. 简单地，“奇+奇=奇，奇×奇=偶”.
类似地，“偶±偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇”.
扩展资料：
奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性。
即已知是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上是减函数（增函数）。但由单调性不能倒导其奇偶性。验证奇偶性的前提要求函数的定义域必须关于原点对称。
说明：
①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言。
②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性。
（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与
③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。
④如果一个奇函数 
⑤如果函数定义域不是关于原点对称或不符合奇函数、偶函数的条件则叫做非奇非偶函数。例如 
⑥如果函数既符合奇函数又符合偶函数，则叫做既奇又偶函数。例如
注：任意常函数（定义域关于原点对称）均为偶函数，只有 
偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数。
奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数。
定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。
f(x)为奇函数《==》f(x)的图像关于原点对称
点（x，y）→（-x，-y）
奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。
性质：
1、大部分偶函数没有反函数（因为大部分偶函数在整个定义域内非单调函数）。
2、偶函数在定义域内关于y轴对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同。
3、奇±奇=奇（可能为既奇又偶函数） 偶±偶=偶（可能为既奇又偶函数） 奇X奇=偶 偶X偶=偶 奇X偶=奇（两函数定义域要关于原点对称）.
4、对于F（x）=f[g(x)]：
若g(x）是偶函数且f（x）是偶函数，则F[x]是偶函数。
若g(x) 是偶函数且f（x）是奇函数，则F[x]是偶函数。
若g(x）是奇函数且f(x）是奇函数，则F[x]是奇函数。
若g(x）是奇函数且f(x）是偶函数，则F[x]是偶函数。
5、奇函数与偶函数的定义域必须关于原点对称。
参考资料：百度百科-函数奇偶性
1 先分解函数为常见的一般函数，比如多项式x^n，三角函数，判断奇偶性
2 根据分解的函数之间的运算法则判断，一般只有三种种f(x)g(x)、f(x)+g(x），f(g(x))（除法或减法可以变成相应的乘法和加法）
3 若f（x）、g(x）其中一个为奇函数，另一个为偶函数，则f(x)g(x)奇、f(x)+g(x）非奇非偶函数，f(g(x))奇
4 若f（x）、g(x）都是偶函数，则f(x)g(x)偶、f(x)+g(x）偶，f(g(x))偶
5 若f（x）、g(x）都是奇函数，则f(x)g(x)偶、f(x)+g(x）奇，f(g(x))奇
扩展资料：
偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数。
奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数。
定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。
f(x)为奇函数《==》f(x)的图像关于原点对称
点（x，y）→（-x，-y）
奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。
（1）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性
偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性
（2）若f（x+a）为奇函数，则f（x）的图像关于点（a，0）对称
若f（x+a）为偶函数，则f（x）的图像关于直线x=a对称
（3）在f（x），g（x）的公共定义域上：奇函数±奇函数=奇函数
偶函数±偶函数=偶函数
奇函数×奇函数=偶函数
偶函数×偶函数=偶函数
奇函数×偶函数=奇函数
上述奇偶函数乘法规律可总结为：同偶异奇
参考资料：百度百科——函数奇偶性
函数的奇偶性的判断应从两方面来进行，一是看函数的定义域是否关于原点对称（这是判断奇偶性的必要性）二是看与的关系
1、函数的定义域是否是关于原点对称
（1）如果不是关于原点对称，那么这个函数就没有奇偶性；
例如（-1，2），【-10，10）等等这都不是关于原点对称的
（2）如果是关于原点对称，然后接着向下看：
然后就需要通过表达式来判断特征了
奇函数的特征：f（x）+f（-x）=0或者f（-x）=-f（x）；
偶函数的特征：f（x）-f（-x）=0或者f（-x）=f（x）；
往往很多函数并不是一眼就能得到上面的特征，那么怎样才能得到上述的表达式
一般判断奇偶性可以用如下的方法：
举个例子可以看看这三种方法的运用：
上述三种方法中，每种都是围绕的各自的特征形式，最后证明出结果
还有一类函数比较特殊，既满足是奇函数也满足是偶函数，可以看看这一类函数如何证明其奇偶性
例1：已知是定义在R上的函数f（x）=0，试判断的奇偶性
证明：定义域为R
f（x）+f（-x）=0，这是奇函数；
f（x）-f（-x）=0，这是偶函数
那么说明f（x）=0既是奇函数也是偶函数
那么是不是说明只要f（x）是一个常数，那么就满足既是奇函数也是偶函数呢？
例2：探讨定义在R上的函数f（x）=C的奇偶性
首先定义域R，
f（x）-f（-x）=C-C=0，这是偶函数；
f（x）+f（-x）=2C
当C=0，这就是奇函数；
当C≠0，这就不是奇函数
那么说明了
确实存在既是奇函数又是偶函数的函数，这种函数的值恒为零。
因此，函数可分为四类：
1、奇函数（非偶函数）
2、偶函数（非奇函数）
3、既是奇函数又是偶函数（既奇又偶函数）
4、既不是奇函数又不是偶函数（非奇非偶函数）
另外，我们还可以利用函数的图象来判断函数的奇偶性。
偶函数 其图象关于y轴对称
奇函数 其图象关于原点对称
从上面两个等价命题可以得出：奇函数在原点两侧的单调性相同（即同增同减）；偶函数在原点两侧的单调性相反（即左增右减或左减右增）
所以掌握如何证明函数的奇偶性，那么相应的函数的其他特性（单调性，周期性。有界性性）等等，就变的简单多了
f（x）=f（-x）偶函数
f（-x）=-f（x）奇函数
判断函数奇偶性时先判断定义域，若不关于原点对称，则是非奇非偶函数