作两步换元
设x-1=t,t∈[-1,1],则x=t+1,dx=dt
原式=∫√(1-t²)dt再换元,令t=sinu,u∈[-π/2,π/2],则cosu≥0.dt=cosudu
原式=∫cosu*cosudu=∫cos²udu=∫du-∫sin²udu
又∫cosu*cosudu=∫cosu*dsinu=sinucosu-∫sinu*dcosu=sinucosu+∫sin²udu
两式相加得2∫cos²udu=sinucosu+u,即∫cos²udu=1/2*(u+sinucosu)+C
又在换元的过程中,上下限从[0,1]变为[-1,0],又变为[-π/2,0]
∴原式=u+sinucosu|[-π/2,0]=0-(-π/2)=π/2追问
设x-1=t,t∈[-1,1],则x=t+1,dx=dt
原式=∫√(1-t²)dt再换元,令t=sinu,u∈[-π/2,π/2],则cosu≥0.dt=cosudu
原式=∫cosu*cosudu=∫cos²udu=∫du-∫sin²udu
又∫cosu*cosudu=∫cosu*dsinu=sinucosu-∫sinu*dcosu=sinucosu+∫sin²udu
两式相加得2∫cos²udu=sinucosu+u,即∫cos²udu=1/2*(u+sinucosu)+C
又在换元的过程中,上下限从[0,1]变为[-1,0],又变为[-π/2,0]
∴原式=u+sinucosu|[-π/2,0]=0-(-π/2)=π/2追问
用几何意义怎么求
追答不好意思上面最後那里忘记乘以1/2了,结果应该是π/4
几何意义的话,y=√[1-(x-1)²]
两边平方整理得(x-1)²+y²=1,这是圆心为(1,0),半径为1的圆.
又因为y≥0,即y是个半圆.从0到1积分的话画图可以知道是1/4圆,所以面积就是π/4
温馨提示：答案为网友推荐，仅供参考
第1个回答 2020-05-01
相似回答