如图，以矩形OABC的两边OA和OC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，A点的坐标为（3，0），C点的坐标为

Question

如图，以矩形OABC的两边OA和OC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，A点的坐标为（3，0），C点的坐标为（0，4）。将矩形OABC绕O点逆时针旋转，使B点落在y轴的正半轴上，旋转后的矩形为OA 1 B 1 C 1 ，BC，A 1 B 1 相交于点M。 （1）求点B 1 的坐标与线段B 1 C的长； （2）将图a中的矩形OA 1 B 1 C 1 沿y轴向上平移，如图b，矩形PA 2 B 2 C 2 是平移过程中的某一位置，BC、A 2 B 2 相交 于点M 1 ，点P运动到C点停止。设点P运动的距离x，矩形PA 2 B 2 C 2 与原矩形OABC重叠部分的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）如图c，当点P运动到点C时，平移后的矩形为PA 3 B 3 C 3 ，请你思考如何通过图形变换使矩形PA 3 B 3 C 3 与原矩形OABC重合，请简述你的做法。

Answer 1

（1）OA 1 =OA=3， A 1 B 1 =AB=OC=4   ∴OB 1 =5 ∴B（0，5） B 1 C=5-4=1 （2）① S 重叠 =S 阴 =S △PA2B2 -S △M1B2C   ∵OP=x ，PB 2 =5 ∴OB 2 =5+x    又∵OC=4 ∴B 2 C=x+1    △A 2 B 2 P∽△CB 2 M 1   ∴ ∴    ∴S △CB2M1 = (x+1) 2 ∴y=   当M 1 与A 2 重合时, M 1 B 2 2 =B 2 C·BP    ∴4 2 = B 2 C·5 ∴B 2 C=    ∴x= ∴0≤x≤ ②PC=4-x      △PCM 1 ∽△PA 2 B 2   ∴ ∴   ∴S △PCM1 =    ∴y=  ( ＜x＜4)   ∴综上所述y=    （3）将矩形PA 3 B 3 C 3 绕点O顺时针旋转∠B 3 PA 3 的度数，使PA 3 与PB重合（或PC 3 与y轴重合），再把所得图形向下平行4个单位长度，即与矩形OABC重合，使PA 3 与OA重合。（答案不唯一）