在△ABC中，AB=AC，周长为20cm，D是AC上一点，△ABD与△BCD面积相等且周长差为3cm，求△ABC各边的长

Question

如题所述

Answer 1

这道题目中，两个三角形周长相差3cm，会出现以下两种情况：

1、△ABD-△BCD=3cm；2、△BCD-△ABD=3cm。分别求解：

1、解：图像如下：

做BE⊥AC，则BE同时为△ABD、△BCD底边上的高。

因为：S△ABD=AD×BE/2=S△BCD=CD×BE/2，∴AD=CD，D为AC的中点。

△ABD的周长=AB+BD+AD；△BCD的周长=BC+BD+CD。

所以：AB-BC=3（cm）。

△ABC的周长为20cm，即：AB+AC+BC=2AB+BC=20（cm）.

解方程组：AB=AC=23/3（cm），BC=14/3（cm）。

2、同样做BE⊥AC，图像如下：

同样可得到：AD=CD，此时；BC-AB=3（cm）。

结合：2AB+BC=20。

解得：AB=AC=17/3（cm），BC=26/3（cm）。

Answer 2

本题分两种情况：
（1）当△ABC为锐角三角形时，
过P点作BE⊥AC，
∵S △ABD =S △ABD = 

1    

2    

 AD?BE= 

1    

2    

 CD?BE，
∴CD=AD，
又∵△ABD与△BCD周长差为3cm，
∴（AB+BD+AD）-（BD+BC+CD）=3cm，
∴AB-BC=3cm…①，
又△ABC的周长为20cm，且AB=AC，
∴2AB+BC=20cm…②，
由①②可得：
AB=AC= 

23    

3    

 cm，BC= 

14    

3    

 cm；

（2）当△ABC为钝角三角形时，
同上可知BC-AB=3cm…③，
2AB+BC=20cm…④，
由③④可得：BC= 

26    

3    

 cm，AB=AC= 

17    

3    

 cm．
由（1）（2）可知：
△ABC三边长分别为 

23    

3    

 cm， 

23    

3    

 cm， 

14    

3    

 cm或 

17    

3    

 cm， 

17    

3    

 cm， 

26    

3    

 cm．

Answer 3

因为三角ABD与三角BCD面积相等，则可以有D为AC的中点，即AD=CD；
因为AB=AC（等腰三角形），三角ABD与三角BCD的周长相差为3，即意为AB与BC相差为3。
考虑到两种情况：
1. AC > BC，即 BC = AC - 3； 此时可有：3AB-3 =20， 所以三边，AB=AC=23/3，BC=14/3；
2. AC<BC，即 BC=AC+3；有：3AB + 3 =20；所以三边分别为：AC=AB=17/3；BC =26/3

Answer 4

△ABD与△BCD面积相等，
所以BD=DC,
AB=AC,设为b,依题意
a+2b=20,①
|a-b|=3.即a-b=土3，②
①-②，得3b=17或23，b=17/3或23/3，
分别代入①，a=26/3或14/3.（单位:cm）.