已知a,b,c分别为三角形ABC三个内角A,B,C的对边，acosC+根号3asinC-b-c=0

Question

已知a,b,c分别为三角形ABC三个内角A,B,C的对边，acosC+根号3asinC-b-c=0.1.求A;2.若a=2,三角形ABC的面积为根号3，求b，c.

Answer 1

acosC＋√3asinC-b-c＝0
根据正弦定理
a＝2RsinA,b＝2RsinB,c＝2RsinC
∴sinAcosC＋√3sinAsinC－sinB－sinC＝0（＊）

∵sinB＝sin［180º－（A＋C）］
＝sin（A＋C）
＝sinAcosC＋cosAsinC
∴（＊）可化为
sinAcosC＋√3sinAsinC－sinAcosC－cosAsinC－sinC＝0
∴√3sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0
∵sinC＞0,约去得：
√3sinA－cosA＝1
∴2（√3／2sinA－1／2cosA）＝1
∴sin（A－π／6）＝1／2
∴A－π／6＝π／6
∴A＝π／3
a＝2,
根据余弦定理
a²＝b²＋c²－2bccosA
∴b²＋c²－bc＝4
∵△ABC的面积＝根号3
∴1／2bcsinA＝√3
∴bc＝4
那么b²＋c²＝8
∴（b＋c）²＝b²＋c²＋2bc＝16
∴b＋c＝4
　（b－c）²＝b²＋c²－2bc＝0
∴b＝c
那么b＝c＝2