线性代数问题

Question

已知向量组：a1=(1,2,1,2), a2=(1,1,-1,0), a3=(1,3,3,3,) a4=(3,6,3,5).求出该向量组的一个极大线性无关组，并把其余的向量表示为这个极大线性无关组的线性组合。

Answer 1

呵呵，姐姐给你详细讲下方法。先说一个答案（答案不惟一），因为一般向量用小写
希腊字母
表示，所以我在下面用α代替原题中的a。α1、α2、α3是它的一个极大线性部分组，α4=α1+α2+α3。求解的方法有很多，可以解
线性方程组
，也可以直接借助矩阵处理，但原理都是依据
初等变换
不改变原
向量组的秩
，这点要清楚。我给你推荐处理这种问题的两种典型方法，一、找出它的一个极大
线性无关
部分组。此法用于求秩很方便。过程如下（请楼主自己动手按我的步骤去做）：1.把α1、α2、α3、α4写成
列向量
按列依次排列。2.对上述矩阵进行
初等行变换
，将其化为阶梯形。3.此时每一行第一个不为0的数所在的列对应的列向量的全体就是原向量组的一个极大线性无关部分组。二、下面给出一个即可找到它的一个极大线性无关部分组又可把剩下的向量用它们线性表示的一次到位的方法：1、将原向量组按行排列，在每个向量后面，即最后一列写上该向量的名称（αj，j=1,2,3,4）此时形式上排成了一个4×5矩阵。2、对这个矩阵进行初等行变换化为阶梯形。注意最右边的向量名也要参于运算，实际上它们记录了你变换的过程。3、阶梯形有几阶那么原向量组的秩就是多少。因为出题的要你最后把其余的向量用它的一个极大线性无关部分组表示，那么一般最后的阶梯形肯定有至少一行为
0向量
。就这道题可以得到它的阶梯数为3。最后一行为：α4-α3-α2-α1=0。此时可以看出，原向量组中任意3个向量都是它的一个极大线性无关部分组，又由上式可以立刻得到任何一种线性表示的方法。