在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则，推广到空间可以得到类似结论

Question

在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则S1/S2=1/4，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P—ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则V1/V2=？ 要过程~谢谢了

Answer 1

设底面ABC的中心为D。
在正四面体中，内切球的半径r等于正四面体P—ABC的中心O到底面的距离。r=OD。
外接球半径R等于中心O到四个顶点的距离R=OB=OP .
设P—ABC棱长为a
在等边三角ABC中得BD=√3a/3
在Rt三角形PDB中得PD=√6a/3=PO+OD=r+R
在Rt三角形ODB中得R^2-r^2=BD^2=（a^2）/3
解得R=√6a/4 r==√6a/12 (平方差公式)
V1/V2=(r/R)^3=1/27.
O(∩_∩)O解释一下：
直接通过S1/S2=1/4猜想V1/V2是不可能的，必须通过计算，通过计算发现答案并不是1/2的三次方而是1/3的三次方。所以归纳猜想需要通过实际验证才准确。
正四面体的棱长为a，则中心到顶点的距离=√6a/4 顶点到底面的距离=√6a/3这两个结论在高中数学很重要需要记下。

Answer 2

1/8
圆面积之比是半径的平方。体积之比是半径的立方。
正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则S1/S2=1/4，推出R1/R2=1/2.V1/V2=1/8本回答被网友采纳

Answer 3

1/8,用等体积法即求出r/R=1/2

Answer 4

1/27

Answer 5

1/8