高中数学题目

Question

设圆x^2+y^2=12与抛物线x^2=4y相交与AB两点，F为抛物线焦点
（1）若过点F且斜率为1的直线L与抛物线和圆交于四个不同的点，从左至右依次为p1p2p3p4,求、|p1p2|+|p3p4|的值
（2）若直线与抛物线相交于MN两点，且与圆相切，切点D在劣弧AB上，求|MF|+|NF|的取值范围

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Answer 1

（1）L的方程为y=x+1，代入圆和抛物线有
2x^2+2x-11=0 x^2-4x-4=0
设p1p2p3p4的横坐标分别为x1x2x3x4。又p1p3在圆上，p2p4在抛物线上，由韦达定理
x1+x3=-1 x2+x4=4
于是|p1p2|+|p3p4|=(√2)(x2-x1+x4-x3)=5√2
（2）MN的方程为x·a+y·b=12，(a,b)为切点D。代入抛物线方程
(12-y·b)^2=4·a^2·y
两个根y1，y2为M，N的纵坐标。由韦达定理
y1+y2=(4a^2+24b)/b^2=(48-4b^2+24b)/b^2=48(1/b)^2+24(1/b)-4
根据抛物线的几何性质
|MF|+|NF|=y1+y2+2
由于D在AB上，b∈[2, 2√3]，所以y1+y2+2∈[4√3+2, 22]

Answer 2

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=?