关于微积分在物理的运用

Question

两根平行的水平导轨上放置一根r=0.5Ω的导体棒，导体棒的质量m=0.1kg，与导轨之间的动摩擦因数μ=0.5，导轨两端接R=1.5Ω的电阻，不及一切其他电阻。现用F=0.7N的恒力拉动导体棒，B=2T的磁场垂直电路面，求导体棒静止到匀速的用时，以及位移
棒长0.5m

Answer 1

此题属于高中物理，但是，题目的问题却超纲了，此题应该给出运动时间，不应该求达到匀速的时间，更不能求位移，因为时间是无穷大，位移也无穷大。
一般高中用微积分的方法求解，浅浅的双色石已经帮你提供一个很好的思路，他用了平均电流的方法解决了，不过用“平均”的方法求，一定是一次函数才可以（F=BIL，F和I是一次函数，所以可以，至于为什么你不用管，要证明这个，也要用微积分证明，电荷Q=It也可以用平均电流，冲量I=Ft，也可以用平均力，因为都是一次函数，但是有效值是不能用“平均”求解的，因为有效值Q=I²Rt，Q和I不是一次函数），此外，你这道题还要求求时间，我怀疑你弄错了，时间是求不出来的（因为这个运动不可能匀速运动，除非时间无限大，由于此题不可能达到匀速运动，所以如果求匀速运动）。
不知道你为什么会提到用微积分，要用微积分，解微分方程是很麻烦的，你这个题的微分方程，虽然解出来不难，不过高中尽量不要考虑用微积分，下面我列微分方程解。同时，我也证明开始我说的结论，我说达到匀速的时间是无穷大，达到匀速的位移也是无穷大，如果你看不懂就算了，不过我还是把解法写下来。

设在t时刻，导体的速度是v，那么有安培力F(安)=B²L²v/r，根据牛顿第二定律，可得
F-μmg-B²L²v/(R+r)=m·dv/dt，这是一阶线性微分方程，有通解公式，下面我用分离变量方法求解，为了方便计算，设p=(F-μmg)/m，q=-B²L²/m(R+r)，那么微分方程可化为
dv/dt=p+qv，分离变量，得dv/(p+qv)=t/q，积分，ln(p+qv)=t/q+C（C为任意常数，因为dv/dt>0，所以p+qv>0，所以绝对值直接去掉），初始条件，t=0时，有v=0，代入ln(p+qv)=t/q+C，可求得C=lnp，所以有t/q=ln(p+qv)-lnp=ln(1+qv/p)，两边分别以e为底数取指数，得
1+qv/p=e^(t/q)，所以v=-(p/q)·[1-e^(t/q)]，
把p和q代回来，得v=[(F-μmg)(R+r)/B²L²]·{1-e^[-m(R+r)t/B²L²]}，这个就是v和t的函数关系式，
从关系式可知，当t→∞时，v=(F-μmg)(R+r)/B²L²，也就是说，时间无穷大，才能达到匀速的速度，所以此题不应该问时间怎么求。可以求出匀速速度是v=(F-μmg)(R+r)/B²L²

再次对t积分，就可以求出位移s和t的关系，这个积分没有前面解微分方程难，不过计算也挺繁琐，这里我就不计算了，你如果有兴趣，以后学了微分方程可以自己算（或者你现在就明白微分方程也可以解）。求出表达式后，当t无穷大时，位移也是无穷大（具体我没算，不过我用p和q把位移表达式求出来了，根据表达式，得到位移无穷大）。追问

按你这种推算，安培力并不能完全抵消掉外力，只能无限接近。我觉得磁场中运动导体棒在外力作用下最终到达“匀速”状态的过程很有趣，想来只有微积分才能解决，所以就这么问了。请问什么时候才能学到这些知识，大学吗？

追答

嗯，的确是要大学，学了大学高数微分方程之后，你就可以自己分析了，当然，大学物理也有分析，类似的题目这道题的题目也有，一些观点高中认为正确的，其实要实现的到题目所说的那种状态，都要时间无限大。
例1：某物体在足够高的地方由静止自由下落，它受到的空气阻力f=kv（k是常数，v是速度），高中考试就会问，当达到匀速时候，速度大小是多少。这个题目和你问的题目一样，速度无限逼近，但是永远不能匀速，极限速度v=mg/k。

例2：两根平行的水平导轨上放置一根R的导体棒，导体棒的质量m，磁场为B垂直电路面。导体的初速度为v0，高中也认为导体最终会停下来。
设在t时刻，导体速度为v，根据牛顿第二定律，可得
B²L²v/R=-mdv/dt（这里负号表示速度和加速度方向相反），分离变量，得
dv/v=-(B²L²/mR)dt，积分得lnv=-B²L²t/mR+C，由初始条件，t=0时v=v0，
得常数C=lnv0，最后整理，得v=v0·e^(-B²L²t/mR)，所以要想v=0，t=∞。

再次把v=v0·e^(-B²L²t/mR)，对t积分，可以求位移s=(-mRv0)/B²L²·e^(-B²L²t/mR)+C
由初始条件，t=0时，s=0，可求出常数C=(-mRv0)/B²L²，最后得到
s=mRv0/B²L²[1-e^(-B²L²t/mR)]，当t=∞时，s=mRv0/B²L²，所以此题可以求位移，尽管速度永远不会等于0，但是位移却是有限的。这是不是更有趣？

当然位移可以这样求，微分方程是B²L²v/R=-mdv/dt，因为dv/dt=(ds/dt)·(dv/ds)，而v=ds/dt，
所以dv/dt=(ds/dt)·(dv/ds)=vdv/ds，代入B²L²v/R=-mdv/dt，得B²L²/R=-mdv/ds，分离变量，得
ds=(-mR/B²L²)·dv，积分得s=(-mR/B²L²)·v+C，初始条件v=v0时，有s=0，
所以常数C=(mR/B²L²)·v0，最后整理，得s=(mR/B²L²)·(v0-v)，这个是速度和位移的关系式，
显然当v=0时，有s=mRv0/B²L²，和前面计算结果一样。
本人分析到此，有兴趣自己慢慢琢磨。

Answer 2

用F=0.7N的恒力拉动导体棒，经过2s之后导体棒匀速运动，可以列式
F-μmg-IBL=0,
得到BL=(F-μmg)/I,
此时电压表的示数为0.3V，I=U/R=0.3V/1.5Ω=0.2A,电动势E=U+Ir=0.3V+0.2A×0.5Ω=0.4V,
BL=(F-μmg)/I=(0.7N-0.5×0.1kg×10m/s²)/0.2A=1N/A,
设导体棒匀速运动时的速度为v,有E=BLv,于是
v=E/BL=0.4V/1N/A=0.4m/s,
导体棒加速过程中,电流是变化的，设平均电流为I*,加速时间为t，位移为x，那么由动量定理和动能定理
(F-μmg-I*BL)t=mv-0,
(F-μmg-I*BL)x=0.5mv²-0,
其中t=2s，代入数据，得
通过某一横截面的电荷量Q=I*t=0.36C, x=2.5m

正如所说，“位移的求法......不能用平均电流列方程”，因为平均电流是时间上的平均值，用于位移是不对的，可是，对于高中，还不要求用微积分求解，怎么办，我想到的办法是：
平均电流I*=E*/(R+r)=BLv*/(R+r)=BL(x/t)/(R+r),
其中E*是平均电动势，v*是平均速度，v*=x/t，上式两边乘以t，得
I*t=BLx/(R+r),
即x=I*t(R+r)/BL=Q(R+r)/BL=0.72m,
这样就避免用到微积分了。

Answer 3

棒在磁场中的相对长度呢？追问

0.5m