求椭圆x^2/a^2+y^2/b^2≤1 （A＞b＞0） 绕X轴旋转一周所得到的旋转体的体积

Question

如题所述

Answer 1

考虑对称性,只对第一象限的1/4图形旋转,再乘以2即可.
椭圆方程：y^2=b^2-b^2x^2/a^2, x^2=a^2-a^2y^2/b^2
绕X轴体积,V1=2π∫[0,a] (b^2-b^2x^2/a^2)dx
=2π(b^2x-b^2x^3/3)[0,a]
=2π[b^2a-b^2a^3/(3a^2)]
=2π(2ab^2)/3
=4πab^2/3,
同理绕Y轴体积：
V2=2π∫[0,b] (a^2-a^2y^2/b^2)dy
=2π[0,b][a^2y-a^2y^3/(3b^2)]
=2π[a^2b-a^2b^3/(3b^2)]
=2π(2a^2b/3)
=4πa^2b/3.