空间解析几何中怎么求两直线所在的平面方程

Question

如题所述

Answer 1

空间平面方程的求解问题。

要确定一个平面的方程，一般来说有两种方法：

第一种是，根据平面方程的一般形式，即Ax+By+Cz+D=0，找到平面上的三个点的坐标，带入一般式后解方程（三个方程，四个未知数，但是ABCD不是唯一的，可以同时乘以倍数后仍然是同一个方程，故而解出之间的比例关系即可，或者说得到方程组的一个特解即可）。这个问题可以按照这种办法做，即在所给两条直线上取3个点，但需要不全处于其中一条直线上，求解得到A、B、C、D一组解即可

   ç¬¬äºŒç§æ–¹æ³•ï¼Œå°±æ˜¯åˆ©ç”¨å¹³é¢æ³•å‘量的方式。

确定一个平面，只需知道其法向量方向n，以及其上面的一定点P，因为任何一个点W(x，y，z)（不等于P）位于这个平面上当且仅当向量WP垂直于n，即与法向量垂直。确定平面方程：在两条直线上取三个点P、Q、N，（同样也不在一条直线上），做向量PQ,PN,求这两个向量的外积（向量积），单位化之后（单位化不是必要的）就是所求平面的法向量。设P的坐标为（x1，y1，z1），PQ×PN=向量n=（x0，y0，z0），那么设平面上任意一点的坐标为W（x，y，z），那么有向量PW=（x-x1，y-y1，z-z1)⊥向量n，故而所求平面方程为(x-x1)x0+(y-y1)y0+(z-z1)z0=0化简整理即为所求

另外也可以用过定直线的平面束来求，但是前面介绍的两种作为最基本也是从基本概念出发的方法应该最先掌握。

Answer 2

根据平面方程的一般形式，即Ax+By+Cz+D=0，找到平面上的三个点的坐标，带入一般式后解方程（三个方程，四个未知数，但是ABCD不是唯一的，可以同时乘以倍数后仍然是同一个方程，故而解出之间的比例关系即可，或者说得到方程组的一个特解即可）。

即在所给两条直线上取3个点，但需要不全处于其中一条直线上，求解得到A、B、C、D一组解即可。

求平面可以取向量积为法线

任一三元一次方程的图形总是一个平面，其中x,y,z的系数就是该平面的一个法向量的坐标。

两平面互相垂直相当于A1A2+B1B2+C1C2=0

两平面平行或重合相当于A1/A2=B1/B2=C1/C2

点到平面的距离=abs(Ax0+By0+Cz0+D)/sqrt(A^2+B^2+C^2) 求解过程：面内外两点连线在法向量上的映射Prj(小n)(带箭头P1P0)=数量积

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Answer 3

(1)如果两直线相交，得到两直线的方向向量，两者的向量积即为所在平面的法向量，结合其中一条直线上的一点坐标，即可求得平面的点法式方程
(2)如果两直线平行，那么现在其中一条直线上取两点A，B，另一条直线上取一点C，那么直线AB，AC所在平面即为两平行线所在平面，由于AB和AC相交，因此回到(1)的步骤即可本回答被提问者和网友采纳

Answer 4

空间平面方程的求解问题。
要确定一个平面的方程，一般来说有两种方法：
第一种是，根据平面方程的一般形式，即Ax+By+Cz+D=0，找到平面上的三个点的坐标，带入一般式后解方程（三个方程，四个未知数，但是ABCD不是唯一的，可以同时乘以倍数后仍然是同一个方程，故而解出之间的比例关系即可，或者说得到方程组的一个特解即可）。这个问题可以按照这种办法做，即在所给两条直线上取3个点，但需要不全处于其中一条直线上，求解得到A、B、C、D一组解即可
第二种方法，就是利用平面法向量的方式。
确定一个平面，只需知道其法向量方向n，以及其上面的一定点P，因为任何一个点W(x，y，z)（不等于P）位于这个平面上当且仅当向量WP垂直于n，即与法向量垂直。确定平面方程：在两条直线上取三个点P、Q、N，（同样也不在一条直线上），做向量PQ,PN,求这两个向量的外积（向量积），单位化之后（单位化不是必要的）就是所求平面的法向量。设P的坐标为（x1，y1，z1），PQ×PN=向量n=（x0，y0，z0），那么设平面上任意一点的坐标为W（x，y，z），那么有向量PW=（x-x1，y-y1，z-z1)⊥向量n，故而所求平面方程为(x-x1)x0+(y-y1)y0+(z-z1)z0=0化简整理即为所求
另外也可以用过定直线的平面束来求，但是前面介绍的两种作为最基本也是从基本概念出发的方法应该最先掌握。

Answer 5

空间上一个面的方程是AX+BY+CZ+D=0
所谓空间直线的一般方程是有两个相交的平面定义的
学立体几何的时候见过两个不平行的平面有且仅有一条交线。
联立两个平面方程就得到一条直线。而两条直线相交，交于一个点，相当于三个互不平行的平面相交于一个点

这样就是三个三元一次方程，有一个唯一的解（X,Y,Z)
差不多就是：
A1X+B1Y+C1Z+D1=0
A2X+B2Y+C2Z+D2=0
A3X+B3Y+C3Z+D3=0
解这个方程就好了。