人教版高一解析几何的例题

Question

如题所述

Answer 1

已知直线L经过点P（3，2）与两坐标轴分别交于A（a，0），B（0，b）两点。若a大于0，b大于0，求t=2a+3b的最小值，并写出此时直线L的方程

因为l不过原点，两截距不为0，可设直线方程为 x/a+y/b=1；
则有 3/a+2/b=1；
因为3/a与2/b之和为常数1，
则当且仅当3/a=2/b时，积(3/a)*(2/b)有最大值；
等价于(3/a)*(2/b)的倒数ab/6有最小值；
等价于三角形面积S＝ab/2有最小值。

联立方程组：
3/a+2/b=1
3/a=2/b
解得a=6，b=4
所求方程为 x/6+y/4=1，即 2x+3y=12。

作为填空题时，可以这样解：
除去以O和P为对角顶点的矩形后，三角形AOB剩余两个直角三角形。
当直线AB绕P转动时，这两个三角形面积变化为一增一减，且增幅大于减幅。
故当这两个直角三角形面积变化为相等（全等）时，三角形AOB面积最小。
这时，三角形两直角边分别等于矩形的两邻边，易知A（6，0），B（0，4），即得答案。