2.1.1 函数的概念和图象 重难点：在对应的基础上理解函数的概念并能理解符号“y=f（x）”的含义，掌握函数定义域与值域的求法； 函数的三种不同表示的相互间转化，函数的解析式的表示，理解和表示分段函数；函数的作图及如何选点作图，映射的概念的理解．考纲要求：①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；③了解简单的分段函数，并能简单应用；经典例题：设函数f（x）的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域：（1）H（x）=f（x2+1）；（2）G（x）=f（x+m）+f（x－m）（m＞0）. 当堂练习： 1． 下列四组函数中,表示同一函数的是（ ）A． B． C． D．2函数的图象与直线交点的个数为（ ）A．必有一个 B．1个或2个 C．至多一个 D．可能2个以上3．已知函数，则函数的定义域是（ ）A． B． C． D．4．函数的值域是（ ）A． B． C． D．5．对某种产品市场产销量情况如图所示，其中：表示产品各年年产量的变化规律；表示产品各年的销售情况．下列叙述： （ ）（1）产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去；（2）产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌；（3）产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量；（4）产品的产、销情况均以一定的年增长率递增．你认为较合理的是( )A．（1），（2），（3） B．（1），（3），（4） C．（2），（4） D．（2），（3） 6．在对应法则中,若,则 ， 6． 7．函数对任何恒有，已知，则 ．8．规定记号“”表示一种运算，即. 若，则函数的值域是___________．9．已知二次函数f(x)同时满足条件： (1) 对称轴是x=1； (2) f(x)的最大值为15；(3) f(x)的两根立方和等于17．则f(x)的解析式是 ．10．函数的值域是 ．11． 求下列函数的定义域 ： (1) (2) 12．求函数的值域． 13．已知f(x)=x2+4x+3，求f(x)在区间[t,t+1]上的最小值g(t)和最大值h(t)． 14．在边长为2的正方形ABCD的边上有动点M，从点B开始，沿折线BCDA向A点运动，设M点运动的距离为x，△ABM的面积为S．（1）求函数S=的解析式、定义域和值域；（2）求f[f(3)]的值． 参考答案： 经典例题： 解：（1）∵f（x）的定义域为［0，1］， ∴f（x2+1）的定义域满足0≤x2+1≤1． ∴－1≤x2≤0．∴x=0． ∴函数的定义域为｛0｝．（2）由题意，得 得则①当1－m＜m，即m＞时，无解； ②当1－m=m，即m=时，x=m=；③当1－m＞m＞0，即0＜m＜时，m≤x≤1－m．综上所述，当0＜m≤时，G（x）的定义域为{x|m≤x≤1－m}．当堂练习：1. A ; 2. C ; 3. C ;4. D ;5. D ; 6. 5, ;7. ;8. ;9. f(x)= -6x2+12x+9; 10.;11.(1) ,(2)由得(- ,-1)(-1,0)．12. 设，则，当时，y有最小值,所求函数的值域为.13. 解：因抛物线的对称轴是x= -2,所以分类讨论:(1) ①当t+1<-2,即t<-3时, g(t)=f(t+1);②当,即时g(t)=f(-2);③当t>-2时, g(t)=f(t)．(2) ①当 -2-t(t+1)-(-2), 即t时, h(t)= f(t); ②当-2-t< (t+1)-(-2), 即t时, h(t)= f(t+1)．综上所述:,14. 解：（1）当时，S=x；当时，S=2；当时，S=6-x。 定义域是（0，6），值域是（0，2） (2) f[f(3)]=f(2)=2 2.1.2 函数的简单性质重难点：领会函数单调性的实质，明确单调性是一个局部概念，并能利用函数单调性的定义证明具体函数的单调性，领会函数最值的实质，明确它是一个整体概念，学会利用函数的单调性求最值；函数奇偶性概念及函数奇偶性的判定；函数奇偶性与单调性的综合应用和抽象函数的奇偶性、单调性的理解和应用；了解映射概念的理解并能区别函数和映射．考纲要求：①理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；并了解映射的概念；②会运用函数图像理解和研究函数的性质．经典例题：定义在区间（－∞，＋∞）上的奇函数f（x）为增函数，偶函数g（x）在［0，＋∞ )上图象与f（x）的图象重合.设a＞b＞0，给出下列不等式，其中成立的是f（b）－f（－a）＞g（a）－g（－b） ②f（b）－f（－a）＜g（a）－g（－b） ③f（a）－f（－b）＞g（b）－g（－a） ④f（a）－f（－b）＜g（b）－g（－a）A．①④ B．②③ C．①③ D．②④当堂练习： 1．已知函数f(x)=2x2-mx+3，当时是增函数，当时是减函数，则f(1)等于 （ ） A．-3 B．13 C．7 D．含有m的变量 2．函数是（ ）A． 非奇非偶函数 B．既不是奇函数,又不是偶函数奇函数 C． 偶函数 D． 奇函数3．已知函数(1), (2),(3)(4),其中是偶函数的有（ ）个A．1 B．2 C．3 D．4 4．奇函数y=f（x）（x≠0），当x∈（0，+∞）时，f（x）=x－1，则函数f（x－1）的图象为 （ ）5．已知映射f:AB,其中集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象,且对任意的,在B中和它对应的元素是,则集合B中元素的个数是（ ）A．4 B．5 C．6 D．76．函数在区间[0, 1]上的最大值g(t)是 ．7． 已知函数f(x)在区间上是减函数,则与的大小关系是 ．8．已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x<0时, f(x)是增函数,若x1<0,x2>0,且,则和的大小关系是 ．9．如果函数y=f(x+1)是偶函数，那么函数y=f(x)的图象关于_________对称．10．点(x,y)在映射f作用下的对应点是,若点A在f作用下的对应点是B(2,0),则点A坐标是 ．13. 已知函数,其中，(1)试判断它的单调性；(2)试求它的最小值． 14．已知函数，常数。（1）设，证明：函数在上单调递增；（2）设且的定义域和值域都是，求的最大值． 13.(1)设f(x)的定义域为R的函数,求证: 是偶函数； 是奇函数.(2)利用上述结论，你能把函数表示成一个偶函数与一个奇函数之和的形式． 14. 在集合R上的映射:,.(1)试求映射的解析式;(2)分别求函数f1(x)和f2(z)的单调区间;(3) 求函数f(x)的单调区间. 参考答案： 经典例题： 解析：本题可采用三种解法.方法一：直接根据奇、偶函数的定义．由f（x）是奇函数得f（－a）=－f（a），f（－b）=－f（b），g（a）=f（a），g（b）=f（b），g（－a）=g（a），g（－b）=g（b）．∴以上四个不等式分别可简化为①f（b）＞0；②f（b）＜0；③f（a）＞0；④f（a）＜0.又∵f（x）是奇函数又是增函数，且a＞b＞0，故f（a）＞f（b）＞f（0）=0，从而以上不等式中①、③成立.故选C.方法二：结合函数图象．由下图，分析得f（a）=g（a）=g（－a）=－f（－a），f（b）=g（b）=g（－b）=－f（－b）．从而根据所给结论，得到①与③是正确的.故选C．方法三：利用间接法，即构造满足题意的两个函数模型f（x）=x，g（x）=|x|，取特殊值a、b.如a=2，b=1.可验证正确的是①与③，故选C．答案：C当堂练习：B ; 2. D ; 3. B ;4. D ;5. A ; 6. ;7. ;8. >;9. x=-1; 10. ();11. 解: (1)函数，设时， ，所以在区间上单调递增；(2)从而当x=1时，有最小值．12. 解:（1）任取，，且，， 因为，，，所以，即，故在上单调递增．（2）因为在上单调递增，的定义域、值域都是，即是方程的两个不等的正根有两个不等的正根．所以，∴，∴时，取最大值．13.解: (1)利用定义易证之； (2)由(1)得=． 14. 解: (1)； (2)当时， f1(x)单调递减， 当时， f1(x)单调递增； 当时， f2(z) 单调递减， 当时， f1(x)单调递增．(3) 当和时， f(x)分别单调递减；当和分别单调递增．
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