高中数学 三角函数

Question

设函数f（x）=Asin（wx+a）（其中A＞0，w＞0，-π＜a≤π）在x=π/6处取得最大值2，其图像与x轴的相邻两个交点的距离为π/2

（1）求f（x）的解析式

（2）求函数g（x）=(6cos^4x-sin^2x-1)/f(x+π/6)的值域

求第二问，范围怎么定？请详细些

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过函数的周期求出ω，求出A，利用函数经过的特殊点求出φ，推出f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）推出函数g（x）=
6cos4x-sin2x-1f(x+
π6)的表达式，通过cos2x∈[0，1]，且cos2x≠
12，求出g（x）的值域．解答：解：（Ⅰ）由题意可知f（x）的周期为T=π，即2πω=π，解得ω=2．
因此f（x）在x=π6处取得最大值2，所以A=2，从而sin（2×
π6+φ）=1，
所以π3+φ=
π2+2kπ ，k∈z，又-π＜φ≤π，得φ=π6，
故f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+π6）；
（Ⅱ）函数g（x）=6cos4x-sin2x-1f(x+
π6)
=6cos4x-sin2x-12sin(2x+
π2)
=6cos4x-sin2x-12cos2x
=6cos4x-sin2x-12(2cos2x -1)
=32cos2x+1 (cos2x≠
12)
因为cos2x∈[0，1]，且cos2x≠
12，
故g（x）的值域为[1，
74)∪(
74，
52]．点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查计算能力．