高中数学竞赛数论的题目，求最小值，要有详细过程

Question

如题所述

Answer 1

这里我给出一个估计的做法。

估计最小值的下界(即u的最小值至少是大于多少):
首先[a,b]<=ab,[b,c]<=bc,[c,a]<=ca。
令k=a+b+c。
有：
u>=k/2-(ab+bc+ca)/k>=k/2-(a^2+b^2+c^2)/k>=k/2-k^3/(3k)=k/6.
因此u即使取到最小值，也不可能小于k/6.
我们当然希望u=k/6.那么当k取最小值时，u也取到最小值.
首先a,b,c>=2.
所以k>=6.u>=1.
这时只要u取到离1最近的或者直接取到1的时候，这个u值便是最小值.
当k=6时，u取到2.所以这样u的最小值只可能是在1到2之间，从上面的不等式可知，当k>12时，u>2.所以最小值只可能在6<=k<=12之间取得。这个界定下来后，其实就可直接通过枚举法把结果给出了。
如果有(a,b)=(b,c)=(c,a)=1时,u的最小值即在这样的数组(a,b,c)所对应的值里。下面的枚举就通过这种方法迅速找出对于每个k的最小值：
k=6有唯一的u=2.
k=7有唯一的u=3/2.
k=8有最小的u=17/8.
k=9有最小的u=37/18.
k=10有最小的u=19/10.
k=11有最小的u=53/22.
k=12有最小值u=2.
这里面最小的是k=7时的值，此时u=3/2.a=b=2,c=3是其一个对应的数组.所以u的最小值为3/2.

Answer 2

反反复复反反复复反反复复反反复复