12道高中数学难题！十一放假前求解

Question

1、函数f(x)=|x+1|+|x-1|+(4-x^2)^(1/2)的值域是____.
2、方程sin（2013πx）=x^2013的实数根个数为____
3、化简sin12°sin48°sin54°=____
4、设数列｛an｝满足a1=a2=1，an=3^(1/2)×a(n-1)-a(n-2)
5、设△ABC外接圆圆心P满足向量AP=2/5(向量AB+向量AC)，则cos∠BAC=____
6、设复数z=x+yi满足(z+1)/(z+2)的实部与虚部之比为3^(1/2)，其中i是虚数的单位，x,y∈R，则y/x的最大值为____
7、设（1+x+x^2）^150=(求和符号的上面是300，下面是k=0)∑Ckx^k，其中C0，∧，C300是常数，则（求和符号上面100，下面k=0）C3k=____
8、随机选取正11边行的3个不同顶点，它们构成锐角三角形的概率为____

9、设正三棱椎的底面边长为1.侧棱长为2，求体积和内切球半径

10、求所有函数f：R→R，使得对任意x,y都有
f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，且x^2-x^(1/2)≤f(x)≤x^2+x^(1/2)

11、设a,b,c是不全为0的实数，求F=（ab-bc+c^2）/(a^2+2b^2+3c^2)的取值范围，a,b,c分别满足什么条件时，F取最大值与最小值？

12、设数列｛an｝满足a1=1,a2=2,an=[1+a(n-1)]/[a(n-2)] (n≥3)
(1)求数列（an）通项
(2)求证：对任意正整数k,[a(2k-1)]^(1/2)和[a(2k)/2]^(1/2)都是整数

Answer 1

1.1. y=log3(x+1)/(x-1)+根号下(4-x^2)
因(x+1)/(x-1)>0 解得 x<-1或x>1
4-x^2≥0 x^2≤4 -2≤x≤2
故定义域为-2≤x<-1 或1<x≤2
当-2≤x<-1时
log3(x+1)/(x-1)∈(-∞, -1]
根号下(4-x^2)∈[0, √3)
所以y∈(-∞, -1]
当1<x≤2
log3(x+1)/(x-1)∈[1, +∞)
根号下(4-x^2)∈[0, √3)
所以y∈[1, +∞)
综上：值域y∈(-∞, -1]∪[1, +∞)
2.x=a
则a²+a-2013=0
a²=-a+2013

韦达定理a+b=-1

所以原式=-a+2013+2a+b
=a+b+2013
=-1+2013
=2012
3.1/8
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
推导：cos(2α)=cos(α+α)=cosαcosα-sinαsinα=cos^2(α)-sin^2(α)……①
在等式①两边加上1，整理得：cos(2α)+1=2cos^2(α)
将α/2代入α，整理得：cos^2(α/2)=(cosα+1)/2
在等式①两边减去1，整理得：cos(2α)-1=-2sin^2(α)
将α/2代入α，整理得：sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
sin(α/2)=±[(1-cosα)/2]^(1/2)(正负由α/2所在象限决定）
cos(α/2)=±[(1+cosα)/2]^(1/2)(正负由α/2所在象限决定）
tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα=±[(1-cosα）/（1+cosα）]^(1/2)
推导：tan（α/2）
=sin（α/2） /cos（α/2）
=[2sin（α/2）cos（α/2] /2cos(α/2)^2
=sinα/(1+cosα)
=(1-cosα)/sinα
4.答案是：1-√3
5.延长AP交BC于D，延长CP交AB与E
AP=λAD=（2/5)AB+(1/5)AC
AD=xAB+yAC，x+y=1【共线定理，B,C,D共线】
得x/y=2，x+y=1，λ=x/(2/5)，得λ=（3/5)
于是PD=（2/5）AD，S△PBC=（2/5)S△ABC
CP=μCE
CE=mCA+nCB，m+n=1【共线定理，E,A,B共线】
AP=（2/5)AB+(1/5)AC
AC+CP=(2/5)(AC+CB)+(1/5)AC
得CP=（2/5)CB+（2/5)CA
于是m=n=1/2，μ=（4/5)
于是CP=(4/5)CE,PE=(1/5)CE,S△PAB=(1/5)S△ABC
于是S△ABP/S△BCP=1/2
追问
不好意思哈,根据你的步骤我可以算出x=2/3,从而λ=5/3而不是λ=3/5,请问我错在哪里了?还有您写的x/y=2是根据题中条件向量AP=2/5向量AB+1/5向量AC,向量AB与向量AC前的系数比为2得出的吗?
回答
你算的是AD=λAP。
（2/5)ab+(1/5）AC=λxAB+λyAC
于是λx/λy=（2/5)/(1/5)=2
即x/y=2【由向量共线得出的】
追问
按您写的应该是AP=λAD吧,还有能不能告诉我 根据你的步骤我可以算出x=2/3,从而λ=5/3而不是λ=3/5,请问我错在哪里?
回答
xλ=2/5，x=2/3，得λ=3/5
提问者评价
按照你说的，真的成功了，好开心，谢谢你！
6.右边虚部为0，左边z+1的实部应为0
7.设（1+x+x^2）^150=(求和符号的先方是300，下头是k=0)∑Ckx^k，其中C0，∧，C300是常数，则（求和符号先方100，下头k=0）C3k=____
8.、随机选取正11边形的3个不同顶点，它们构成锐角三角形的概率为____盼高手详细解说剖析，谢谢！答案是:1/3
9.正三棱锥顶点P在底面ABC的投影D是等边三角形ABC的中心。
易知AD=根号3，从而 PD=根号(PA^2-AD^2)=根号3.
棱锥体积为 PD*三角形ABC面积/3=9/4.

延长AD交BC于E，则AE为BC的中垂线。连接PE，
易知AE=3*(根号3)/2，PE=(根号15)/2.
在PD上取一点Q，使该点到底面的距离和该点到棱面的距离相等,
即过Q点作面PBC的垂线QF，使QD=QF。
则QF必与PE相交于点F，且QF为内切圆的半径。
直角三角形PQF与PED相似，有 PQ/QF=PE/ED。 即PD/QF-1=PE/ED,
又ED=(根号3)/2， 得内切圆半径 QF=(根号3)/(1+根号5).
内切球的表面积 4πQF^2=3π(3-根号5)/2.
10.证明：f(x)对任意x,y属于R都有f(x+y)=f(x)+f(y)
令x=y=0，得f(0)=0
再令y=-x，得f(0)=f(x)+f(-x)
所以，f(-x)=-f(x)，f(x)为奇函数
11.15.2k
12.an=3^n-1+a(n+1) 可得：a(n+1)-an=3^n-1
an-a(n-1)=3^(n-1)-1
a(n-1)-a(n-2)=3^(n-2)-1
......
a2-a1=3^1-1
以上式子累加：an-a1=3^(n-1)+3^(n-2)+...+3^1-(n-1)=3*(1-3^(n-1))/(1-3)-(n-1)=(3^n-3)/2-n+1
an=(3^n-3)/2-n+1+a1=(3^n-3)/2-n+2==(3^n+1)/2-n

OK了 qq1259545502

Answer 2

一楼不能再吊 祝获得Imo金牌
马一个 不过Lz你这个题量和0悬赏几乎不可能得到答案

Answer 3

都不很难，慢慢做