已知：如图①，在△ABC中，∠C>∠B，AD垂直BC于点D，AE平分∠BAC。求证：∠DAE=二分之一（∠C-∠B）；

Question

（2）若AE为△ABC的角平分线，F为AE上的一点，且FD⊥BC于D，如图②；（3）如图③，若F点在AE的延长线上，上述结论还成立吗？

Answer 1

1、证明：
∵∠BAC＝180-（∠B+∠C），AE平分∠BAC
∴∠CAE＝∠BAC/2＝90-（∠B+∠C）/2
∵AD⊥BC
∴∠ADC＝90
∴∠CAD+∠C＝90
∴∠CAD＝90-∠C
∴∠DAE＝∠CAE-∠CAD＝90-（∠B+∠C）/2-90+∠C＝（∠C-∠B）/2
2、∠DFE＝（∠C-∠B）/2
证明：过点A作AH⊥BC于H
∵∠BAC＝180-（∠B+∠C），AE平分∠BAC
∴∠CAE＝∠BAC/2＝90-（∠B+∠C）/2
∵AH⊥BC
∴∠AHC＝90
∴∠CAH+∠C＝90
∴∠CAH＝90-∠C
∴∠HAE＝∠CAE-∠CAD＝90-（∠B+∠C）/2-90+∠C＝（∠C-∠B）/2
∵AH⊥BC，FD⊥BC
∴AH∥FD
∴∠DFE＝∠HAE （同位角相等）
∴∠DFE＝（∠C-∠B）/2
3、∠DFE＝（∠C-∠B）/2
证明：过点A作AH⊥BC于H
∵∠BAC＝180-（∠B+∠C），AE平分∠BAC
∴∠CAE＝∠BAC/2＝90-（∠B+∠C）/2
∵AH⊥BC
∴∠AHC＝90
∴∠CAH+∠C＝90
∴∠CAH＝90-∠C
∴∠HAE＝∠CAE-∠CAD＝90-（∠B+∠C）/2-90+∠C＝（∠C-∠B）/2
∵AH⊥BC，FD⊥BC
∴AH∥FD
∴∠DFE＝∠HAE（内错角相等）
∴∠DFE＝（∠C-∠B）/2