已知○A过原点O且与x轴交与点C（6,0），与y轴交与D点B(0,8),直线y=KX与○A交与另一点P,当K=1时，求P的坐标

Question

设过点O,C的抛物线y=ax（x-6)的顶点为Q,问是否同时存在a,k的值，使得以O,CQ为顶点的三角形与△OCP相似？

解题过程！！！！

Answer 1

⊙A过(0，0)与(6，0)，∴A点横坐标为3(A在OC的垂直平分线上)，
⊙A过(0，0)与(0，8)，∴A点纵坐标为4，∴A(3，4)，∴OA=5，
⊙A方程：(X-3)^2+(Y-4)^2=5，当Y=X时，2X^2-14X=0，X=0或7，∴P(7，7)，

Y=a(X-3)^2-9a，顶点Q(3，9a)，ΔOCQ是等腰三角形，
∵∠POC=45°，当ΔPOC为等腰三角形时，∠P=45°或∠PCO=45°，
①当∠P=45°时，OP是直径，∴OP=√2OC=6√2，P(6，6)，K=1，
这时|9a|=1/2OC=3，∴a=±1/3，
②当∠PCO=45°，K=1，∴a=±1/3。

综上所述：当K=1，a=±1/3时，
以O、C、Q为顶点的三角形与△OCP相似。追问

为什么∠POC=45°？一定是等腰直角吗三角形OCQ也不一定是等腰直角呀

Answer 2

⑴ ∵∠BOC＝90°∴BC是圆A的直径且BC＝√﹙OB²＋OC²﹚＝√﹙8²＋6²﹚＝10∴弦OP≦圆A的直径10
tan∠OPC＝tan∠OBC＝OC／OB＝6／8＝3/4
⑵作PM⊥x轴于M，作CD⊥OP于D；
∵k＝1∴OM＝PM∴∠POC＝45°∴CD＝OD又CD／PD＝tan∠OPC＝3/4∴设CD＝3m(m﹥0﹚则PD＝4m,OD＝CD＝3m;而OD²＋CD²＝OC²＝6²∴OD＝CD＝3√2，m＝CD／3＝√2,PD＝4m＝4√2,OP＝OD＋DP＝7√2最后OM²＋PM²＝OP²＝﹙7√2﹚²∴OM＝PM＝7即P(7，7）
⑶抛物线y=ax（x-6）＝a(x－3﹚²－9a其顶点Q(3，﹣9a)且QO＝QA;
假设同时存在a，k的值，使得以O，C，Q为顶点的三角形与△OCP相似；
则考虑三种情形：
①⊿OPC∽⊿QOC，此时k﹤0,所以这种情形不与考虑；
②⊿COP∽⊿QOC,此时CO／QO＝CP／QC即CO／CP＝QO／QC＝1∴∠POC＝∠P另外∠QOC＝∠POC＝∠P；作PM⊥x轴于M，作QN⊥x轴于N；则ON＝½OC＝3，QN／ON＝tan∠QOC＝tan∠OPC＝3/4∴QN＝ON×3/4＝9/4即|﹣9a|＝9/4∴a＝±1/4相应地k＝PM／OM＝tan∠POC＝tan∠OPC＝3/4
③⊿POC∽⊿QOC,此时⊿POC≌⊿QOC,∴Q与P重合或关于x轴对称；作PM⊥x轴于M；以B(0，8)，C(6,0)为为端点的线段是圆A的直径∴A(3，4),∴OM＝3，PM＝AM＋AP＝4＋5＝9，k＝PM／OM＝3；相应地|﹣9a|＝9∴a＝±1
综合k＝3/4时a＝±1/4；k＝3时，a＝±1。

Answer 3

因为A过(0，0)与(6，0)，∴A点横坐标为3(A在OC的垂直平分线上)，
所以A过(0，0)与(0，8)，∴A点纵坐标为4，∴A(3，4)，∴OA=5，
因为A方程：(X-3)^2+(Y-4)^2=5，当Y=X时，2X^2-14X=0，X=0或7，∴P(7，7)，

所以Y=a(X-3)^2-9a，顶点Q(3，9a)，ΔOCQ是等腰三角形，
∵∠POC=45°，当ΔPOC为等腰三角形时，∠P=45°或∠PCO=45°，
①当∠P=45°时，OP是直径，∴OP=√2OC=6√2，P(6，6)，K=1，
这时|9a|=1/2OC=3，∴a=±1/3，
②当∠PCO=45°，K=1，∴a=±1/3。