复合函数的导数//怎么求？

Question

如题所述

Answer 1

复合函数的求导公式

Answer 2

比如有复合函数： y(x) = u[v{w(x)}] (1)
复合函数：u是v的函数、v是w的函数、w是x的函数，
y是u、v、w的复合函数。
欲求: dy(x)/dx = ?
解： 公式为：dy(x)/dx = (du/dv) (dv/dw) (dw/dx) (2)
举例：u=e^v v=w^3 w=cos x
也即： y(x) = e^(cos³ x) (3)
分别算出：du/dv=e^v dv/dw=3w² dw/dx=-sinx (4)
最后得到复合函数的导数：dy/dx = -3w² e^v sinx (5)
再代入uvw的具体表达式：
dy/dx = -3w² e^v sinx
= -3 e^(cos³ x) cos²x sinx (6)
复合函数求导，首先要搞清复合函数的层式结构 (1)，
之后利用(2)层层求导，最后把中间结果(5)显式化，得到
最终结果：(6)。追问

dy(x)//这是什么意思 y的积分 的x的自变量???

追答

dy(x)/dx
就是y(x)对x的导数。
dy(x)就是y(x)的微分。
y是函数、x是y的自变量。
跟积分没关系。

追问

dy(x)/dx = (du/dv) (dv/dw) (dw/dx) //大哥du是u自变量的微分嘛???

追答

y(x) = u[v{w(x)}]
u是函数，实际上就是y。
u不是自变量。
du是函数u的微分。

追问

再代入uvw的具体表达式：
dy/dx = -3w² e^v sinx
= -3 e^(cos³ x) cos²x sinx (6) //第六步代入，怎么化简没看清楚呀。。。w咋消掉的

追答

再代入uvw的具体表达式：
dy/dx = -3w² e^v sinx
= -3 e^(cos³ x) cos²x sinx (6)

w=cosx
w² 用cos² x代入，自然就没有w了：
dy/dx = -3 e^(cos³ x) cos²x sinx (6)

追问

//不好意思，不是在找茬；的确是不会
dy(x)/dx = (du/dv) (dv/dw) (dw/dx)
dy/dx = -3 e^(cos³ x) cos²x sinx //上面公式不是dy(x)/dx怎么最后变成 dy/dx 了？

追答

按照(1)式的写法，实际上y和u是一样的，即： y(x) = u[v{w(x)}]
写成：y = y[v{w(x)}] 也可以。
就象：f(x) = g(x) f=g 一样

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Answer 3

y=f(g(x)) u=g(x)
y'=f'(g(x))*g'(x)
举例 y=ln(3x+2)
y'=[1/(3x+2)]*3=3/(3x+2)