高等数学，理工科，这个三重积分用直角坐标系的先一后二怎么做？

Question

如题所述

Answer 1

直角坐标系，需要有起点。

Answer 2

Ω在xy平面的投影为σxy:x²+y²≤3R²/4
∫∫∫Ω zdV
=∫∫σxy dσ∫[R-（R²-x²-y²）½]→（R²-x²-y²）½ zdz
=1/2 ∫∫σxy [2R（R²-x²-y²)½-R
²]dσ ⑴
换成极坐标系 x=rcosθ，y=rsinθ，θ∈[0，2π]
r∈[0，R√3/2]
则⑴式=1/2∫0→2π dθ∫0→R√3/2 [2R（R²-r²)½-R²]rdr
=π∫0→R√3/2 [2R（R²-r²)½-R²]rdr
=2πR∫0→R√3/2 （R²-r²）½rdr-πR²∫0→R√3/2 rdr
=2πR∫0→R√3/2 （R²-r²）½rdr -3πR^4/8
⑵
令r=Rsinα α∈[0，π/3]
∫0→R√3/2 （R²-r²）½rdr
=∫0→π/3 R²cosαsinαdRsinα
=∫0→π/3 R³cos²αsinαdα
=-∫0→π/3 R³cos²αdcosα
=-1/3 R³cos³α|0→π/3
=7R³/24
所以⑵式=2πR×7R³/24 -3πR^4/8
=5πR^4 /24本回答被网友采纳