定积分证明题

Question

设f(x)在[-a,a]上连续，具有二阶连续导数，且f(0)=0
证明：在[-a,a]上至少存在一点n，使得a^3f''(n)=3∫f(x)dx（积分从-a到a）

Answer 1

根据泰勒中值定理，在x=0处把f(x)展开，得f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(n)x^2/2，其中n属于[-a,a]。由于f(0)=0，两边在区间[-a,a]积分得∫f(x)dx=∫f'(0)x+∫f''(n)x^2/2，其中∫f'(0)x是关于x的奇函数，而区间关于原点对称，所以∫f'(0)x=0。所以∫f(x)dx=∫f''(n)x^2/2，积分得a^3f''(n)=3∫f(x)dx。追问

漏了一问，还要写出f(x)带有拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式，不好意思啊~

追答

这是第一问还是第二问，f(x)带有拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式就是f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(θx)x^2/2=f'(0)x+f''(θx)x^2/2呀 （0<θ<1)，这问是不是还有啥具体要求啊？

追问

新加的是第一问。。。偶太无知了。。。