曲面积分中被积函数为1

Question

第一类曲面积分中，被积函数为1的时候，积分结果就是曲面面积么？？同理，第一类曲线积分中，被积函数为1就是曲线长度么？相应的第二类积分中被积函数为1有什么特殊意义么？？求解释

Answer 1

第一类曲面积分中，被积函数为1的时候，积分结果就是曲面面积。同理，第一类曲线积分中，被积函数为1就是曲线长度。道理很简单，因为弧长可以理解成当线密度为1时的曲线质量，而面积在数值上就是面密度为1时的曲面质量。当线密度或面密度不是1而是函数时，第一型积分结果就是线或面的质量。
第二类积分实际上是对内积（即数量积）的积分，不管是曲线积分还是曲面积分都是这样（虽然在具体计算中经常把对内积的积分转化成其分量之和的积分形式）。因此被积函数为1没有什么特别的意义，因为内积为1的可能性很多。