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一道期中考试数学题,作死了都做不出来,求大神jie da
在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是边AD,AB上的点,连接OE,OF,EF,若AB=7,Bc=五乘根号二,角DAB=45度,则三角形oef周长最小值是?
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推荐答案 推荐于2018-05-06
在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是边AD,AB上的点,连接OE,OF,EF,若AB=7,BC=5√2,∠DAB=45º,则△OEF周长最小值是?
解:作图:过O作OG⊥AB,G为垂足,并延长一倍至M,使GM=GO;再过O作OH⊥AD,H为
垂足,并延长一倍至N,使HN=HO;再连接MN与AB相交于E,与AD相交于F,连接OE,OF,则此时的△OEF周长最小。
证明:依作图法,AB是OM的中垂线,因此OE=ME;同样,AD是ON的中垂线,因此OF=FN;
于是△OEF的周长=OE+EF+FO=ME+EF+FN=MN。
在AB上任取异于E的E₁,在AD上任取异于F的F₁,连接OE₁,E₁F₁,OF₁,ME₁,NF₁,
则△OE₁F₁的周长=OE₁+E₁F₁+OF₁=ME₁+E₁F₁+NF₁>MN.故证。
下面计算这个最小的周长。注意O、G、A、H四点共园,因此∠GOH=135º;
AC²=7²+(5√2)²-2×7×5(√2)cos∠ADC=49+50-70(√2)cos135º=169,故AC=13;AO=13/2;
设∠CAD=α,在△CAD中使用正弦定理,得7/sinα=13/sin135º=26/√2=13√2;
故sinα=7/(13√2)=(7/26)√2;于是得OH=OAsinα=(13/2)(7/26)√2=(7/4)√2;ON=2OH=(7/2)√2;
再设∠BAC=β,在△BAC中使用正弦定理,得(5√2)/sinβ=13/sin∠ABC=13/sin135º=13√2;
故sinβ=(5√2)/(13√2)=5/13;于是得OE=OAsinβ=(13/2)(5/13)=5/2;OM=2OE=5;
故△OEF的周长=MN=√[ON²+OM²-2(ON)(OM)cos∠GOH]
=√(49/2+25+35)=√(169/2)=13/√2=(13/2)√2.
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其他回答
第1个回答 2014-04-26
作O关于AB、AD的对称点M、N,MN长度即为三角形周长最小值,应该为根号74,可能数不准,但方法没错本回答被提问者采纳
第2个回答 2014-04-26
解:分别作点O关于AD,AB的对称点M,N,连结MN交AD于E,交AB于F,
则 EO=EM, FO=FM,
所以 MN=EM+EF+FM
=EO+EF+FO
=三角形OEF的周长。
你已会做了,我就不用再做下去了。
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yi。dao。jian。dan。de。shu。xue。ti。qiu。
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顶点出版社打字员,一万字1800块,是真的吗
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