向量组线性相关与秩的关系是什?

Question

如题所述

Answer 1

向量没有秩，向量组才有。向量组的秩是其线性不相关的子向量组中的个数最多的一个。

令向量组的线性组合为零（零向量），研究系数的取值情况，线性组合为零当且仅当系数皆为零，则该向量组线性无关；若存在不全为零的系数，使得线性组合为零，则该向量组线性相关。

向量组的相关性质：

（1）当向量组所含向量的个数与向量的维数相等时，该向量组构成的行列式不为零的充分必要条件是该向量组线性无关。

（2）当向量组所含向量的个数多于向量的维数时，该向量组一定线性相关。

（3）通过向量组的正交性研究向量组的相关性。

（4）通过向量组构成的齐次线性方程组解的情况判断向量组的线性相关性；线性方程组有非零解向量组就线性相关，反之，线性无关。

（5）通过向量组的秩研究向量组的相关性。若向量组的秩等于向量的个数，则该向量组是线性无关的；若向量组的秩小于向量的个数，则该向量组是线性相关的。