高中数学代数证明题

Question

若a>b （a,b∈R），求证a^(2n+1)>b^(2n+1) (n∈N)。
能否不用函数单调性来证

Answer 1

可以的 用不等式证明
a>b （a,b∈R）(n∈N)

（1）当a，b同为正数时a/b >1
所以(a/b)^(2n+1) >1
所以
a^(2n+1)
----------- > 1
b^(2n+1)
所以a^(2n+1)>b^(2n+1)

（2）当a，b同为负数时 a/b < 1
所以(a/b)^(2n+1) < 1
所以
a^(2n+1)
----------- < 1
b^(2n+1)
因为a^(2n+1)，b^(2n+1) 都分别小于0
所以a^(2n+1)>b^(2n+1) （同乘以负数 不等号方向变换）

（3）当a，b分别为一正一负时 a/b < 1 且
所以(a/b)^(2n+1) < 1
所以
a^(2n+1)
----------- < 1
b^(2n+1)
当a>0 b<0 时
a^(2n+1)>b^(2n+1) （同乘以负数 不等号方向变换）
当a<0 b>0 时
a^(2n+1)<0,b^(2n+1) >0
所以a^(2n+1)<b^(2n+1)

综上所述 当a>b （a,b∈R）时
a^(2n+1)>b^(2n+1) (n∈N)。

Answer 2

用“二项式定理”
a^(2n+1)
=[b+(a-b)]^(2n+1)

=b^(2n+1)+(后面2n+1项正数)
>b^(2n+1)