一根长木棍上有两种刻度线

Question

用红色刻度线将一根木棍分成135等份，再用黑色刻度线将这根木棍分成40等份，沿两种刻度线将这一根木棍锯成短木棍。问共有多少种不同长度的短木棍？

Answer 1

为了简便运算,假设木棍长度为135
用红色刻度线将一根木棍分成135等份,每份长度为1;
再用黑色刻度线将这根木棍分成40等份,每份长度为3.375
设x个1正好与y个3.375重合,则
x=3.375y
27y=8x
说明每27个1长度正好与8个3.375长度重合,整段木棍可以分为5个这样的区间,每个区间情况一样.
那么就拿27个1来说明:
8个3.375对应的数字为
3.375=3+0.375=4-0.625
6.75=6+0.75=7-0.25
10.125=10+0.125=11-0.875
13.5=13+0.5
16.875=16+0.875=17-0.125
从最后一组可以看出,再往后,小于1的数字是重复的.
上面出现了0.375;0.625;0.75;0.25;0.125;0.875;0.5共7个小段,再加上长度为1的小段,共有8种不同长度的短木棍.
其实,因为135分之一小于40分之一,所以从每27个1/135正好与8个1/40长度重合这个公式,可以立即判定有8种不同长度的小段.