高一数学题

Question

已知函数f(x)对一切实数x,y都有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立，f(1)=0（1）求f（0) (2)求f(x)解析式（3)任意x∈{0,1/2}不等式f(x)+3<2X+a恒成立，求a取值范围

Answer 1

1、
f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x，f(1)=0
令x=1，y=0，则：f(1)-f(0)=2，得：f(0)=-2

2、
f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x，f(0)=-2
令y=0，则：f(x)-f(0)=(x+1)x，
把f(0)=-2代入得：f(x)=x²+x-2

3、
把f(x)=x²+x-2代入不等式f(x)+3<2x+a
则：x²+x-2+3<2x+a
即：a>x²-x+1
该不等式对x属于[0,1/2]恒成立 （是闭区间吧？）
令g(x)=x²-x+1，x属于[0,1/2]
则a要大于g(x)在[0,1/2]上的最大值
g(x)是开口向上，对称轴为x=1/2的二次函数，在[0,1/2]上递减，
所以，当x=0时，g(x)有最大值1
所以：a>1

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！O(∩_∩)O

Answer 2

（1）令x=1，y=0，有f(1)－f(0)=0－f(0)=(1+0+1)×1=2，所以，f(0)=﹣2
（2）令y=0，有f(x)－f(0)=(x＋1)x，f(x)=x²＋x－2，x∈R
（3）x²＋x－2＋3＜2x＋a
x²－x－1＜a对任意x∈﹙0，½﹚（题目中这儿不该是大括号吧？开区间闭区间啊？）恒成立，
即﹙x－½﹚²－5/4＜a，x∈﹙0，½﹚，所以﹣½＜﹙x－½﹚＜0
0＜﹙x－½﹚²＜¼，
﹣5/4 ＜﹙x－½﹚²－5/4＜﹣1
要使﹙x－½﹚²－5/4＜a恒成立，，所以a的取值范围为a≥﹣1