初中几何证明题

Question

已知正方形ABCD，E是BC中点，角EAF等于45度，CF为角DCG的角平分线，FG垂直BC的延长线于G，求证：DC等于EC加FG

Answer 1

连结AC，

三角形ACF为直角三角形

CF＝AC*tan(角CAF)＝根2*AB*tan(角CAF)

BE＝AB*tan(角BAE)

而角BAE＝角CAF      （角BAE＝45度－角EAC＝角CAF）

所以CF＝根2*AB*tan(角CAF)＝根2*AB*tan(角BAE)＝根2*BE

又CF＝根2*CG

所以CG＝BE

CD＝BC＝BE+EC＝CG+EC

至此，命题得证

Answer 2

如图：由题意可知∠1+∠3=∠2+∠3=45度，∠4+∠5=90度

∴∠1=∠2，∠B=∠ACF=90度，

∴ΔABE∽ΔACF，

∴AB：BE=AC：CF

若设AB=2a，则BE=EC=a，AC=2√2a，

则CF=BE*AC/AB=a*2√2a/2a=√2a,

∴在等腰直角三角形CGF中，FG=a

∴DC=AB=2a，EC+FG=a+a=2a

∴DC=EC+FG

Answer 3

取AB中点P，连接PE，EF，证明△APE≌△ECF，得出AE=EF,再证明△ABE全等于△EGF,得出AB=EG,∴CD=AB=EG=EC+CG=EC+FG

Answer 4

很简单啊
设AF CD交点P
只需证明DP=CD/3
而显然BE+DP=EP
由勾股定理可算 在三角形CEP中