为什么幂函数不满足反函数的求导法则？

Question

如题所述

Answer 1

反函数的求导法则中的“两个函数的导数互为倒数”指的是在不改变函数解析式的前提下，即：
由函数y=f(x)解出x=g(y)。原函数y=f(x)，y为因变量，x为自变量，导数是dy/dx。反函数x=g(y)，x为因变量，y为自变量，导数是dx/dy。两个导数是倒数关系。
我们习惯上把反函数x=g(y)重新记为y=g(x)，这时候的两个导数不是倒数关系了。
y＝x^3的导数dy/dx＝3x^2，x=y^(1/3)的导数dx/dy＝1/3*y^(-2/3)＝1/3*(x^3)^(-2/3)＝1/(3x^2)，是倒数关系

Answer 2

主要是幂的不同函数在整个的定义域上可能没有反函数，在每个单调区间上才有反函数。例如：
y=x²划分单调区间，（-∞，0],[0,+∞)
在每个单调区间上才存在反函数，这时反函数求导法才适用。
y=x³反函数求导法则完全适用追问

反函数求导法则的结论是两个函数的倒数互为倒数。上面的就是反例啊？

追答

你没弄清楚反函数的概念，上面的不是反例。

Answer 3

"反函数求导法则的结论是两个函数的倒数互为倒数。上面的就是反例啊？"
反函数的成立的优先条件不是这个吧，应该是定义域和值域的关系吧？

Answer 4

因为你算错了追问

不会啊。比如y1=x^3,反函数就是y2=x开3次。y1，y2求导后不互为倒数。

追答

y1'=3x^2
y2'=1/3x^(2/3)
两者相乘当然不等于1啊