【高中数学。线性规划】已知M(cosa,sina),在不等式组x-y-1≤0,x+y-1≤0表示的平面区域内,则点M到

Question

已知M(cosa,sina),在不等式组x-y-1≤0,x+y-1≥0表示的平面区域内,则点M到直线6x-y-4=0距离的最大值与最小值分别为m，n，则m-2n等于？
不好意思。题目修改一下 是“x-y-1≤0,x+y-1≤0

Answer 1

解：由二元一次不等式组可知M点的轨迹为单位圆在第一象限的部分和A(0,1),B(1,0)两点。
已知直线l：6x-y-4=0，则l垂直于向量a=(6,-1)(可自行验证或证明之)。
易得l过点C(0,-4)。
设M到l的距离为y，于是：y=|a*MC|/|a|(可证明之，事实上设MC与a的夹角为x,于是：a*MC=|a||MC|*cosx=|a|y).
则：y=|sina-6cosa+4|/√37
=|√37sin(a-t)+4|/√37, 其中：t=arctan6, a∈[0,π/2]。
于是：由sin(a-t)在[0,π/2]上单调递增，t在此范围内，则：
y(0)=2/√37,y(π/2)=5/√37, 因此：m=5/√37, n=0.
则：m-2n=m=5√37/37追问

不好意思 。 题目有点问题，若是x+y-1≥0改为x+y-1≤0呢？

追答

前面的部分无变化，只是a的取值范围变成：[π/2,2π]
于是：n=0无变化。
a=t+π/2=arctan6+π/2时,m=y(a)=1+4/√37.
于是：m-2n=1＋4√37/37

追问

是[π/2,3/2π]把？

追答

啊不好意思。
a=3π/2时，n=3/√37
于是：m-2n=1-2√37/37

追问

我算出来和你一样。 选项里没有。。果断相信题目错了。。O(∩_∩)O~

追答

反正过程和思路就是这样，至于结果，我觉得大概没错吧。。。。

Answer 2

M(cosa,sina) 所以M在以原点为圆心 半径为1的圆上
画出线性区域····可得M的取值范围在第一象限的圆上
所以···n=0 当M 点坐标为（0，1）时距离最大 所以m=5/√37
m-2n=5/√37