求二次函数在闭区间的最大值、最小值的方法

Question

如题所述

Answer 1

一般来说，如果这个一元二次函数的定义域是R的话：
（1）函数开口向上，即a>0时，则没有最大值，只有最小值，即函数的顶点，可用函数的顶点公式：(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)来求。
（2）函数开口向上，即a<0时，则没有最小值，只有最大值，求法同上。

若该函数的定义域不是R的话：
（1）函数开口向上，即a>0时：
①当-b/2a在定义域内时，有最小值，再看定义域区间
假设是闭区间[m,n],若-b/2a>(n+m)/2,则最大值是x=m时的函数值，若-b/2a<(n+m)/2,则相反，若两者相同，则最大值即是端点值。
当定义域区间是开区间（m,n）时，则无最大值
还有就是区间是半开半闭的情况时，即[m,n)或(m,n]时，按上面闭区间的方法计算，但若x取不到，则没有最大值
②当-b/2a不在定义域内时，
假设是闭区间[m,n],则最小值和最小值就是两个端点值，算一下再比较大小就行
当定义域区间是开区间（m,n）时，则无最大最小值
当区间是半开半闭的情况，即[m,n)或(m,n]时，按上面闭区间的方法计算，关键是看能不能取到，但肯定是只有一个最值的
至于函数开口向下，即a<0的情况，上面的看懂了就会了
其实最方便的还是画个草图，分情况讨论一下就行了 ，算二次函数的最值问题只要不弄错定义域，情况分清楚，不讨论错还是很简单的

Answer 2

开口朝上：
如果对称轴在区间内，那么在区间内取到最小值
距离对称轴较远的区间端点上取到最大值

如果对称轴不在区间内，那么为单调函数，在两个端点各取到最大值和最小值

开口朝下：
如果对称轴在区间内，那么在区间内取到最大值
距离对称轴较远的区间端点上取到最小值

如果对称轴不在区间内，那么为单调函数，在两个端点各取到最大值和最小值本回答被网友采纳

Answer 3

一个二次函数在闭区间上必有最大值和最小值．解决二次函数在闭区间上的最值问题．可通过闭区间的端点的函数值与顶点的函数值比较大小得出．当定义域分别在对称轴左、右侧，或闭区间的一个端点在对称轴上时，闭区间的端点的函数值为最大或最小值；当顶点的横坐标属于闭区间去掉两端点得到的开区间时，二次函数在顶点及距离顶点较远的闭区间的一个端点处的函数值为最大或最小值