初等数论求助！

Question

两个容器，一个容量为27L，另一个容量为15L，如何利用它们从一桶油中倒出6L油来？
答案是这样写：（27,15）=3 27=15+12 ，15=12+3，3=15-12=15-（27-1*15）即3=2*15-27 ，于是6=4*15-2*27 首先，我想问为什么会用求最大公约数，这种题目想不到会用最大公约数啊，第二，这样做的原理是什么

Answer 1

题目的意思就是用27与15线性组合，得到6，这是数论的典型题。
即：27x+15y=6
9x+5y=2
(9,5)=1 |2 必定有解。
题目数字小，直接可以观察出来特解。
但如果观察不出来，就通过求最大公约数的过程得出一个特解：
9=5+4
5=4+1　出现公约数“1”即可反推：　
公约数1＝5-4＝5*2-9
所以有：2＝5*4-9*2　即6=15*4-27*2
（x,y)=(-2, 4)即得一个特解。通解是（-2+5t, 4-9t）, t是任意整数。追问

"9x+5y=2
(9,5)=1 |2 必定有解" 请问，这句话9x+5y=2 为什么要想到(9,5)=1 |2，并且说必定有解？

追答

定理：ax+by=c有解的充要条件是：(a,b)|c

如果r=（9,5），则r|9 r|5必有r|9x+5y=2
如果r不能整除2, 显然9x+5y不可能＝2.
可以证明，r｜2时，必定有解。这一点通过上述求公约数过程及其反推过程，已经证明解的存在。

Answer 2

 

从油桶中倒四次在15L的容器里，然后把共60升的油倒入盛器1，分两次倒入27L里，共54升倒入盛器2，则盛器1里剩余的就是6升。

 

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Answer 3

这样算能更简便的倒出需要的油的数量吧