高中数学——数列的问题，高手来帮忙

Question

这里有2个数列题（第二题分子的意思是2个a2、3个a3之类的），请高手解答，并教教解答方法，万分感谢！

Answer 1

1) 由已知得，a_(n+1)-2a_n=3(a_n-2a_(n-1))，或 a_(n+1)-3a_n=2(a_n-3a_(n-1))
所以，当λ=2时，b_(n+1)=a_(n+1)-2a_n=3(a_n-2a_(n-1))=3b_n
当λ=3时，b_(n+1)=a_(n+1)-3a_n=2(a_n-3a_(n-1))=2b_n
所以 存在实数λ使数列b_n成等比数列；
2）当λ=2时，数列b_n是首项为b2=a2-2a1=3公比为3的等比数列，
所以 bn=3*3^(n-2)=3^(n-1)，即 a_n-2a_(n-1)=3^(n-1)........................①
当λ=3时，数列b_n是首项为b2=a2-3a1=2公比为2的等比数列，
所以 bn=2*2^(n-2)=2^(n-1)，即 a_n-3a_(n-1)=2^(n-1).........................②

由①②消去a_(n-1)得 an=3^n-2^n
当n=1时 a1=3-2也适合上式
所以 数列an的通项公式为 an=3^n-2^n

2、因为bn是等差数列，设b_n=b1+(n-1)d
由已知得 n(n+1)bn=2(a1+...+nan)
(n+1)(n+2)b_(n+1)=2(a1+....+(n+1)a_(n+1))
两式相减得 （n+1)((n+2)b_(n+1)-nb_n))=(n+1)a_(n+1)
所以 a_(n+1)=n(b_(n+1)-bn)+2b_(n+1)=nd+2(b1+nd)=2b1+3nd
所以 an是首项为2b1公差为3d的等差数列。

Answer 2

为了方便我把这个数看成k吧
若存在这样的k
有a(n+1)-Kan=T[an-ka(n-1)] 展开得a(n+1)=(T+K)an-TKa(n-1) 比较得出
T+K=5
KT=6
可以得出T=2，K=3，或，T=3，K=2，取一组解即可
所以b(n+1)=2bn,此时就可以转化为你们学过的，我在这里给你一种大学里的方法，很简单
那个递推数列的特征方程为t^2-5t+6=0(观察只要把对应的通项用t代）
t的解为2或3
则它的通解为an=A*2^n+B*3^n,a1=1,a2=5
2A+3B=1
4A+9B=5
A=-1 B=1
所以an=3^n-2^n
明白了吗？

Answer 3

 

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Answer 4

解1
（1）因An+1=5An-6An-1
故An+1 -2An=3(An-2An-1)
故{An+1 -2An}为等比数列
故λ=2
或An+1 -3An=2(An-3An-1)
故λ=3
（2）A2-2A1=3
故An+1 -2An=3*3^(n-1)=3^n
左右同时除以2^（n+1）
得An+1/2^n+1-An/2^n=3^n-2^n
用叠加法可求得An/2^n
再求An即可
或当λ=3时同理可解

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