如图，延长AD到F，使DF=DA，连接EF、CF。则DE既是ΔAEF的高也是中线，所以ΔAEF也是等腰直角三角形。∴∠1=45°，EF⊥AE
∵∠DAE=∠BAC(都是45°)，∴∠BAE=∠CAF，又∵CA:BA=AF:AE=√2，∴ΔCAF∽ΔBAE，∴∠2=∠BEA=45°
于是∠1+∠2=45°+45°=90°，∴EF⊥CF，从而AE∥CF。
在直角梯形AEFC中，D、M分别是其两条对角线的中点，根据“梯形中位线定理”可知DM∥AE∥CF。
于是∠4=∠BEA=45°，从而∠3 =180°-∠ADE-∠4 =180°-90°-45°=45°
延长DM交AC于N，∵MN∥AE且M为EC中点，∴N为AC中点。
根据“等腰三角形底边中线与高重合”可知BN⊥AC，ΔBAN是等腰直角三角形，∠8+∠9=45°。
在四边形ADBN中，∠ADB=∠3+∠4=45°+45°=90°，∠ANB=90°，∴ADBN四点共圆，∴∠5=∠6
又∵BA:BN=√2，AD:MN=(AE÷√2):MN=(AE:MN)÷√2=2÷√2=√2，即BA:BN=AD:MN，∴ΔBAD∽BNM，∴∠7=∠9
∵∠8+∠9=45°，∴∠7+∠8=45°
在ΔBMD中，∠4=45°，∠7+∠8=45°，∠BMD=180°-45°-45°=90°。所以ΔBMD是等腰直角三角形。
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