平面向量数量积公式

Question

如题所述

Answer 1

平面向量数量积公式是a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=x1·x2+y1·y2。

一、简述

1、已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cosθ（θ是a与b的夹角）叫做a与b的数量积或内积。记作a·b。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即：若a=(x₁,y₁),b=(x₂,y₂)，则a·b=x₁·x₂+y₁·y₂。

2、向量是数学用语，也称为欧几里得向量、几何向量、矢量，指具有大小和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指代表向量的方向，线段长度代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量，数量只有大小，没有方向。

二、性质

1、设a、b为非零向量，则设e是单位向量，且e与a的夹角为θ，则e·a=a·e=|a||e|cosθ；a⊥b等价于a·b=0；当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=-|a||b|；a·a=|a|2=a2或|a|=√a·a；|a·b|≤|a|·|b|，当且仅当a与b共线时，即a∥b时等号成立。

2、cosθ=a·b/|a||b|（θ为向量a.b的夹角）；零向量与任意向量的数量积为0。交换律：a·b=b·a，数乘结合律：（λa）·b=λ（a·b)=a·（λb），分配律：（a+b）·c=a·c+b·c。

三、几何意义

1、一个向量在另一个向量方向上的投影：设θ是a、b的夹角，则|b|cosθ叫做向量b在向量a的方向上的投影|a|cosθ叫做向量a在向量b方向上的投影；a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。

2、注意：两向量的数量积是数量，投影也是数量。射影是矢量。