拉格朗日乘数法

Question

在用拉格朗日乘数法做多元函数的条件极值时，求各个偏导所组成的方程组时，即：
f对x的偏导=0
f对y的偏导=0
f对λ的偏导=0

最后的解里λ可以取0吗，为什么，请答的详细些，好的可以再加分！
再加20分，用事实来说明！！
求z=xy^2在x^2+y^2=1下的极值 为什么驻点坐标不算x=1,y=λ=0和x=-1,y=λ=0这两个点呢？

Answer 1

Answer 2

由拉格朗日乘数法的推导过程可以看出，λ≠0，否则驻点(x0,y0)满足的式子就变成了
f对x的偏导=0
f对y的偏导=0
f对λ的偏导=0

前面两个式子一般是不成立的。

求z=xy^2在x^2+y^2=1下的极值？一般应该是求最大值、最小值！

一种方法是化成一元函数的极值z＝x(1－x^2)，－1≤x≤1.
用拉格朗日乘数法的话，设L(x,y)＝xy^2＋λ(x^2＋y^2－1)，解方程组
y^2＋2λx＝0
2xy＋2λy＝0
x^2＋y^2＝1
前两个方程求出x＝－λ，y^2＝2λ^2，代入第三个式子得λ＝±1/√3，所以x＝±1/√3，y＝±√(2/3)，比较4个驻点处的函数值可得最大值和最小值本回答被提问者采纳

Answer 3

拉格朗日乘子λ大于或等于0
可以参看“互补松弛条件”
简单说，就是最优值时λ和λ所约束的项相乘等于0，就是必须有一个为0
MAX f(x)
s.t. g(x)<=b
那么λ(g(x)-b)=0

Answer 4

因为拉格朗日乘数法得到的点不全是极值点，还需要判定的。一般比较麻烦。但是拉格朗日乘数法经常用于实际问题的计算，所以求出来的找最大的或者最小的就是所求的答案，一般就不需要判定了。

Answer 5

观察是否存在稳定点依据实际情况具体问题具体分析