正四面体的外接球和内切球的球心是同一个点 证明过程

Question

最好是图文并茂的那一种，谢谢啦

Answer 1

设正四面体为A-BCD.

作三角形BCD中,CD边的中线BE,  BC边的中线DF.  BE,DF相交于G,连接AG.

以下讨论AG的性质.

连接AE,AF. 由于BC垂直于AE, BC垂直于AF,

故BC垂直于平面ADF,(垂直于平面上的两相交直线,就垂直于这平面)

从而BC垂直于AG.(垂直于平面,就垂直于平面上的任何直线)

同理,CD垂直于AG,

即知AG垂直于平面BCD.  即AG是过三角形BCD的外心且垂直这三角形所在平面的直线.

故其上任何一点到三点BCD等距离.                                  (1)

再者,平面ABE是二面角平面C-AB-D的平分面.即:二面角C-AB-E = E-AB-D

由此知,平面ABE上任何点到平面ABC 和平面ABD的距离相等.

同理:平面ADF是二面角平面C-AD-B的平分面.

知:平面ADF上任何点到平面ABD 和平面ACD的距离相等.

而AG在是上述两平面的交线,,

故AG上的任何点到,此到三平面ABC,ABD,ACD的距离相等      (2)

同理,设三角形ADC的中心为H,连接BH, 则BH有相应的性质:

  (1a)其上任意点 到三点ADC的距离相等;

  (2a)其上任意一点到三平面:BCD,BCA,BAD 距离相等..

AG, BH都在同一平面ABE中,设它们相交于O,则O点到四点:A,B,C,D距离相等,

且O点到四面ABC,ABD, BCD,ACD距离相等.

即O点既是外接球的中心,又是内切球的中心.